Calc ule a imagem inversa dos seguintes conjuntos em relação às seguintes funções:
f: R R mid f(x)=(x-1)^2+3. Calcule f^-1([1,7)).

Passo 1

Beleza, então temos a função
fcolon Rto R, f(x)=(x-1)^2+3
e queremos achar
f^-1l([1,7)r)=,xinRmid f(x)in[1,7)
O conteúdo envolvido é pré-imagem de conjuntos e resolver inequações quadráticas. Vamos usar a definição
f^-1(B)=xmid f(x)in B
e traduzir isso em inequações, explicando tudo bem devagar.

Passo 2

Pela definição, precisamos de
1 <= f(x) < 7 Long<=ftrightarrow 1 <= (x-1)^2+3 < 7
A gente divide em duas partes:
  1. (x-1)^2 < 4 .
    Como |x-1| < 2 Long<=ftrightarrow -2 < x-1 < 2 Long<=ftrightarrow -1 < x < 3 , temos . Logo sempre .
    Conclusão: essa parte não impõe restrição extra (vale para todo ).
  2. .
    Subtraindo 3:
Agora usamos a propriedade de valor absoluto:

Passo 3

Juntando tudo, a única condição não trivial é . Ou seja, para qualquer nesse intervalo, temos . Fora dele, fica ou só acima de 3 mas não atinge o intervalo pedido.

Resposta

f^-1l([1,7)r) = l(-1,,3r)

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