Na intenção de secar grãos de arroz em um leito de jorro com tubo interno, torna-se necessário caracterizá-lo em termos de massa especifica, diâmetro equivalente e esfericidade. Para tanto, obteve-se uma amostra de 490 grãos, os quais apresentaram o formato de esferoide prolato, em que a média do raio menor foi de 0,970 mm e a média do raio maior, de 4,61 mm. No sentido de avaliar a massa da amostra, utilizou-se um cadinho de massa igual a 30.5 g que, após a adição dos 490 grãos acusou massa de 43.5 g. Com o objetivo de obter a massa especifica do arroz, utilizou-se a técnica de picnometria, lançando-se mão de um picnômetro de 50 ml e massa de 22,3 g. Ao enchê-lo com água, verificou-se que o recipiente acusou massa de 72,2 g. No sentido de avaliar o volume de água deslocado, que está associado ao da amostra de interesse, adicionaram-se os grãos no picnômetro, encontrando-se a massa de 74.3 g , que corresponde à massa do picnômetro adicionada à de água e à da amostra. Desta maneira, pede-se:
O diâmetro da esfera de igual volume ao do arroz, com base nos resultados advindos da picnometria.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? A questão quer que a gente encontre o diâmetro de uma esfera que tenha o mesmo volume de um grão de arroz médio, usando os dados de picnometria. Isso envolve:
  • Conteúdo da matéria: densidade, deslocamento de água (picnometria) e geometria de uma esfera.
  • O que vamos precisar:
    1. Massa dos 490 grãos (vinda do cadinho).
    2. Volume total de grãos (vindo do deslocamento de água no picnômetro).
    3. Volume médio de um grão (= volume total ÷ 490).
    4. Fórmula do diâmetro de esfera a partir do volume:
      .
A partir do próximo passo começa a resolver de fato, passo a passo e sem pular nada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a massa total dos 490 grãos usando o cadinho:
Massa do cadinho + grãos = 43,5 g
Massa só do cadinho = 30,5 g
Logo,
mrm grãos ;=; 43,5 ;-; 30,5 ;=; 13,0 g ã

Passo 3

Agora, o volume de água no picnômetro cheio:
Massa do picnômetro vazio = 22,3 g
Massa do picnímetro + água = 72,2 g
Então a massa de água é
mrm água,(inicial) ;=; 72,2 ;-; 22,3 ;=; 49,9 g á
Como a densidade da água é 1 g/cm³, esse valor corresponde a de água.

Passo 4

Depois de colocar os grãos, temos:
Massa do picnômetro + água + grãos = 74,3 g
Logo, massa total no interior =
mrm total ;=; 74,3 ;-; 22,3 ;=; 52,0 g
Dessa massa, mrm água,(restante) =; 52,0 ;-; 13,0 =; 39,0 g ;widehat=; 39,0 cm^3 são dos grãos, então a água que restou é
Vrm grãos,(total) =; 49,9 ;-; 39,0 =; 10,9 cm^3 á
O volume de água deslocado (que é igual ao volume dos grãos) é a diferença entre o inicial e o restante:
ã

Passo 5

A gente quer o volume médio de um grão só. Como são 490 grãos:
Vrm grão =; 10,9490 approx 0,0222449 cm^3 ã

Passo 6

Finalmente, usamos a fórmula do diâmetro de uma esfera de volume d ;=; l(6,Vpir)^1/3 :
d = l(6 times 0,0222449pir)^1/3 approx 0,349 cm ;widehat=; 3,49 mm
Substituindo :

Resposta

O diâmetro da esfera de igual volume ao de um grão médio de arroz é aproximadamente 3,49 mm.

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