Calcaule:
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+9 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+9x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 0 e 1.
  • A função a integrar é \dfrac{x}{1+9x^{2}}.
    O objetivo é encontrar um número que seja o valor desta integral.

Passo 2

Estratégia: usar a técnica de substituição (mudança de variável) para transformar a integral numa forma conhecida. Vou explicar a ideia geral da substituição:
  • Se fizer a troca u = g(x) com g diferenciável, então du = g'(x)\,dx.
  • A integral em x transforma-se numa integral em u usando dx = du/g'(x) e trocando os limites conforme u=g(x).
  • Isso é útil quando a expressão g'(x) aparece (ou quase aparece) multiplicando outra parte da integranda, permitindo simplificar.
No caso, a parte 1+9x^{2} tem derivada 18x, que é proporcional a x presente no numerador. Portanto a substituição natural é
u = 1 + 9x^{2}.

Passo 3

Calcular du e expressar x\,dx em função de du:
u = 1 + 9x^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 18x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{du}{18}.
Também precisamos transformar os limites de integração: quando x=0,
u = 1 + 9\cdot 0^{2} = 1.
Quando x=1,
u = 1 + 9\cdot 1^{2} = 10.

Passo 4

Substituir na integral original. A integranda \dfrac{x}{1+9x^{2}}\,dx vira \dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{du}{18}. Assim:
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+9x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=10} \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{18} = \frac{1}{18}\int_{1}^{10}\frac{du}{u}.

Passo 5

Agora usar a primitiva conhecida de \dfrac{1}{u}: para u\neq 0,
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.
Aqui u está entre 1 e 10, portanto positivo e podemos escrever \ln u sem barras de valor absoluto. Assim:
\frac{1}{18}\int_{1}^{10}\frac{du}{u} = \frac{1}{18}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{10} = \frac{1}{18}\bigl(\ln 10 - \ln 1\bigr).
Como \ln 1 = 0, isso simplifica para
\frac{1}{18}\ln 10.

Passo 6

Verificação rápida por consistência: dimensão e sinais fazem sentido porque a integranda é não negativa em [0,1] e \ln 10>0, logo o resultado é positivo. Também poderia-se ter usado a substituição alternativa t=3x para chegar ao mesmo valor; o método escolhido é o mais direto por aparecer x\,dx ao derivar 1+9x^{2}.

Resposta

\dfrac{1}{18}\ln 10

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