Calcaule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função a integrar é
.
O objetivo é encontrar um número que seja o valor desta integral.
Passo 2
Estratégia: usar a técnica de substituição (mudança de variável) para transformar a integral numa forma conhecida. Vou explicar a ideia geral da substituição:
- Se fizer a troca
com diferenciável, então . - A integral em
transforma-se numa integral em usando e trocando os limites conforme . - Isso é útil quando a expressão
aparece (ou quase aparece) multiplicando outra parte da integranda, permitindo simplificar.
No caso, a parte
tem derivada
, que é proporcional a
presente no numerador. Portanto a substituição natural é
Passo 3
Calcular
e expressar
em função de
:
Isolando
obtemos
Também precisamos transformar os limites de integração: quando
,
Quando
,
Passo 4
Substituir na integral original. A integranda
vira
. Assim:
Passo 5
Agora usar a primitiva conhecida de
: para
,
Aqui
está entre
e
, portanto positivo e podemos escrever
sem barras de valor absoluto. Assim:
Como
, isso simplifica para
Passo 6
Verificação rápida por consistência: dimensão e sinais fazem sentido porque a integranda é não negativa em
e
, logo o resultado é positivo. Também poderia-se ter usado a substituição alternativa
para chegar ao mesmo valor; o método escolhido é o mais direto por aparecer
ao derivar
.