Questão 3 (2.5 pontos):
Considere a seguinte equaçāo diferencial
(a) Classifique a EDO (3).
(b) Determine a soluçāo da equaçāo homogènea associada à EDO (3).
(c) Determine a solução geral da EDO (3).
Considere a seguinte equaçāo diferencial
(b) Determine a soluçāo da equaçāo homogènea associada à EDO (3).
(c) Determine a solução geral da EDO (3).
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
As perguntas são:
(a) Classificar a EDO (o que exatamente pedir: ordem, linearidade, coeficientes constantes ou não, homogênea ou não).
(b) Determinar a solução da equação homogênea associada (ou seja, resolver ).
(c) Determinar a solução geral da EDO completa (solução geral = solução homogênea + uma solução particular da não-homogênea).
(a) Classificar a EDO (o que exatamente pedir: ordem, linearidade, coeficientes constantes ou não, homogênea ou não).
(b) Determinar a solução da equação homogênea associada (ou seja, resolver
(c) Determinar a solução geral da EDO completa (solução geral = solução homogênea + uma solução particular da não-homogênea).
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A equação é de segunda ordem (aparece
). - Os coeficientes dos termos
são constantes e . - O termo do lado direito (forçamento) é
.
Passo 2
Vamos explicar o que significa cada parte da classificação pedida em (a), para ficar claro na prova:
- Ordem: é o maior número de derivadas que aparece; aqui aparece
, então a ordem é . - Linearidade: a equação é linear se
aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre si, sem funções não-lineares de ). Aqui aparecem apenas termos lineares em , logo é linear. - Coeficientes constantes: os coeficientes multiplicando
são números (não funções de ), então são constantes. - Homogênea vs não homogênea: se o lado direito fosse zero a equação seria homogênea; como o lado direito é
, a equação é não homogênea.
Com isso, já temos toda a informação para responder (a) quando for solicitado resumir.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada (item (b)). A homogênea associada é
Para EDO lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em
:
Resolvendo essa quadrática, fatoramos:
portanto as raízes são
e
. Essas duas raízes são distintas e reais, então a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (constantes de integração). Explicação rápida: cada raiz
da característica gera a solução
; se as raízes são distintas, as soluções são linearmente independentes e a solução geral é a combinação linear das duas.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa para poder formar a solução geral (item (c)). Vou usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), que funciona bem quando o lado direito é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos.
Regras práticas para escolher o formato de
:
- Para um termo constante (aqui
) tenta-se um polinômio constante . - Para um termo
tenta-se . - Se alguma dessas formas “conflitar” com soluções da homogênea (ou seja, se
já aparece na solução homogênea), é preciso multiplicar por , onde é a multiplicidade da raiz na equação característica.
No nosso caso o forçamento é
. Observação importante:
corresponde a
, e 3 é raiz da característica (temos
na homogênea), então há ressonância: a tentativa direta
está em conflito com
. Como a raiz
é de multiplicidade
, multiplicamos por
e tentamos
. Para o termo constante
tentamos um
(constante), e esse não conflita com as soluções homogêneas (que são exponenciais), então
é adequado.
Logo escolhemos como ansatz
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Calcular as derivadas de
e substituir na equação para achar
e
. Primeiro derivadas (detalhando os passos para poder fazer sem calculadora):
Começando com
.
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Simplificando o parêntese:
logo
Agora substituímos
na equação
.
O lado esquerdo com
fica:
Agrupando termos em
e constantes separadamente:
- Termos contendo
:
Calcule o conteúdo do parêntese:
Então os termos em
tornam-se
.
- Termos constantes (sem
) vêm só do .
Assim
Esse resultado deve igualar o lado direito
. Portanto igualamos coeficientes dos termos independentes e dos
:
Portanto a solução particular encontrada é
Passo 6
Montar a solução geral da EDO somando a homogênea e a particular (resposta ao item (c)). A solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, caso sejam fornecidas.
Comentário final e incentivo: as etapas-chave para resolver esse tipo de EDO em prova são (1) identificar que é linear de coeficientes constantes, (2) resolver a homogênea via equação característica, (3) escolher um ansatz apropriado para a particular observando possíveis ressonâncias, e (4) substituir e igualar coeficientes. Com prática esses passos ficam naturais — você já está indo bem ao pedir resoluções passo a passo!
Resposta
(a) Equação diferencial ordinária de ordem
, linear, de coeficientes constantes e não homogênea.
(b) .
(c) .
(b)
(c)