Questão 3 (2.5 pontos):
Considere a seguinte equaçāo diferencial
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=e^{3 x}+3
(a) Classifique a EDO (3).
(b) Determine a soluçāo da equaçāo homogènea associada à EDO (3).
(c) Determine a solução geral da EDO (3).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y''-2y'-3y=e^{3x}+3.
As perguntas são:
(a) Classificar a EDO (o que exatamente pedir: ordem, linearidade, coeficientes constantes ou não, homogênea ou não).
(b) Determinar a solução da equação homogênea associada (ou seja, resolver y''-2y'-3y=0).
(c) Determinar a solução geral da EDO completa (solução geral = solução homogênea + uma solução particular da não-homogênea).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A equação é de segunda ordem (aparece y'').
  • Os coeficientes dos termos y'',y',y são constantes (-2 e -3).
  • O termo do lado direito (forçamento) é e^{3x}+3.

Passo 2

Vamos explicar o que significa cada parte da classificação pedida em (a), para ficar claro na prova:
  • Ordem: é o maior número de derivadas que aparece; aqui aparece y'', então a ordem é 2.
  • Linearidade: a equação é linear se y,y',y'' aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre si, sem funções não-lineares de y). Aqui aparecem apenas termos lineares em y,y',y'', logo é linear.
  • Coeficientes constantes: os coeficientes multiplicando y,y',y'' são números (não funções de x), então são constantes.
  • Homogênea vs não homogênea: se o lado direito fosse zero a equação seria homogênea; como o lado direito é e^{3x}+3\neq0, a equação é não homogênea.
Com isso, já temos toda a informação para responder (a) quando for solicitado resumir.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada (item (b)). A homogênea associada é
y''-2y'-3y=0.
Para EDO lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em r:
r^2-2r-3=0.
Resolvendo essa quadrática, fatoramos:
r^2-2r-3=(r-3)(r+1)=0,
portanto as raízes são r=3 e r=-1. Essas duas raízes são distintas e reais, então a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_h(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (constantes de integração). Explicação rápida: cada raiz r da característica gera a solução e^{rx}; se as raízes são distintas, as soluções são linearmente independentes e a solução geral é a combinação linear das duas.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa para poder formar a solução geral (item (c)). Vou usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), que funciona bem quando o lado direito é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos.
Regras práticas para escolher o formato de y_p:
  • Para um termo constante (aqui 3) tenta-se um polinômio constante A.
  • Para um termo e^{\alpha x} tenta-se B e^{\alpha x}.
  • Se alguma dessas formas “conflitar” com soluções da homogênea (ou seja, se e^{\alpha x} já aparece na solução homogênea), é preciso multiplicar por x^s, onde s é a multiplicidade da raiz \alpha na equação característica.
No nosso caso o forçamento é e^{3x}+3. Observação importante: e^{3x} corresponde a \alpha=3, e 3 é raiz da característica (temos r=3 na homogênea), então há ressonância: a tentativa direta B e^{3x} está em conflito com C_1 e^{3x}. Como a raiz r=3 é de multiplicidade 1, multiplicamos por x e tentamos B x e^{3x}. Para o termo constante 3 tentamos um A (constante), e esse não conflita com as soluções homogêneas (que são exponenciais), então A é adequado.
Logo escolhemos como ansatz
y_p(x)=A + B x e^{3x},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_p e substituir na equação para achar A e B. Primeiro derivadas (detalhando os passos para poder fazer sem calculadora):
Começando com y_p(x)=A + B x e^{3x}.
Derivada primeira:
y_p'(x)=B\frac{d}{dx}\big(x e^{3x}\big) = B\big(e^{3x} + 3x e^{3x}\big) = B e^{3x}(1+3x).
Derivada segunda:
y_p''(x)=B\frac{d}{dx}\big(e^{3x}(1+3x)\big) = B\big(3e^{3x}(1+3x) + e^{3x}\cdot 3\big) = B e^{3x}\big(3(1+3x)+3\big).
Simplificando o parêntese:
3(1+3x)+3 = 3+9x+3 = 6+9x,
logo
y_p''(x)=B e^{3x}(6+9x).
Agora substituímos y_p,y_p',y_p'' na equação y''-2y'-3y = e^{3x}+3.
O lado esquerdo com y_p fica:
y_p''-2y_p'-3y_p = B e^{3x}(6+9x) -2\big(B e^{3x}(1+3x)\big) -3\big(A + B x e^{3x}\big).
Agrupando termos em e^{3x} e constantes separadamente:
  • Termos contendo e^{3x}:
B e^{3x}\big(6+9x -2(1+3x) -3x\big).
Calcule o conteúdo do parêntese:
6+9x -2 -6x -3x = (6-2) + (9x-6x-3x) = 4 + 0\cdot x = 4.
Então os termos em e^{3x} tornam-se 4B e^{3x}.
  • Termos constantes (sem e^{3x}) vêm só do -3A.
Assim
y_p''-2y_p'-3y_p = 4B e^{3x} - 3A.
Esse resultado deve igualar o lado direito e^{3x}+3. Portanto igualamos coeficientes dos termos independentes e dos e^{3x}:
4B = 1 \quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{4},
-3A = 3 \quad\Rightarrow\quad A=-1.
Portanto a solução particular encontrada é
y_p(x) = -1 + \tfrac{1}{4} x e^{3x}.

Passo 6

Montar a solução geral da EDO somando a homogênea e a particular (resposta ao item (c)). A solução geral é
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}-1+\tfrac{1}{4}x e^{3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, caso sejam fornecidas.
Comentário final e incentivo: as etapas-chave para resolver esse tipo de EDO em prova são (1) identificar que é linear de coeficientes constantes, (2) resolver a homogênea via equação característica, (3) escolher um ansatz apropriado para a particular observando possíveis ressonâncias, e (4) substituir e igualar coeficientes. Com prática esses passos ficam naturais — você já está indo bem ao pedir resoluções passo a passo!

Resposta

(a) Equação diferencial ordinária de ordem 2, linear, de coeficientes constantes e não homogênea.
(b) y_h(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}.
(c) y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}-1+\dfrac{1}{4}x e^{3x}.

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