Questão 2 (2.5 pontos):
Determine a solução do PVI
\left\{\begin{array}{l} t y^{\prime}+2 y=\sin t, \quad t>0 \\\ y(\pi)=0 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI):
\begin{cases} t\,y'(t)+2\,y(t)=\sin t, & t>0,\\[4pt] y(\pi)=0. \end{cases}
O que se pede: determinar a solução y(t) definida para t>0 que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Dados relevantes que temos:
  • A equação diferencial: t\,y'+2y=\sin t.
  • A condição inicial: y(\pi)=0.
  • O domínio indicado: t>0 (isso garante que podemos dividir por t e usar \ln t quando necessário).]

Passo 2

Escolhendo o método: a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem em y. Uma forma padrão para esse tipo é
y'+p(t)\,y=q(t),
onde p e q são funções de t. A técnica mais direta aqui é o fator integrante (integrating factor). Vou explicar o método antes de aplicá‑lo:
A ideia do fator integrante: se a equação está em y'+p(t)y=q(t), define-se o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
\mu y' + \mu p y = (\mu y)' = \mu q,
ou seja, a parte esquerda vira a derivada do produto \mu y. Assim integramos ambos os lados e resolvemos para y. É um método direto e muito apropriado para equações lineares de primeira ordem.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão dividindo por t (permitido porque t>0):
y' + \frac{2}{t}\,y = \frac{\sin t}{t}.
Aqui identificamos
p(t)=\frac{2}{t},\qquad q(t)=\frac{\sin t}{t}.
Agora calculamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\Big(\int \frac{2}{t}\,dt\Big)=\exp(2\ln t)=t^{2},
onde usei que t>0 para manipular \ln t e escrever \exp(2\ln t)=t^2.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(t)=t^2. Fazendo isso obtemos:
t^2 y' + 2t\,y = t\sin t.
A observação essencial (justificativa do fator integrante) é que a parte esquerda é exatamente a derivada do produto t^2 y, porque pela regra do produto:
\frac{d}{dt}(t^2 y) = 2t\,y + t^2 y'.
Portanto podemos escrever a equação como
\frac{d}{dt}\big(t^2 y\big) = t\sin t.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
t^2 y = \int t\sin t\,dt + C,
onde C é a constante de integração que aparecerá ao integrar.

Passo 6

Calcular a integral \int t\sin t\,dt usando integração por partes. Lembra da fórmula:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=t (assim du=dt) e dv=\sin t\,dt (assim v=-\cos t). Aplicando:
\int t\sin t\,dt = t(-\cos t) - \int (-\cos t)\,dt = -t\cos t + \int \cos t\,dt.
A integral de \cos t é \sin t. Logo
\int t\sin t\,dt = -t\cos t + \sin t + \text{const}.

Passo 7

Substituindo a integral encontrada em t^2 y = \int t\sin t\,dt + C (absorbendo constantes numa única C) obtemos:
t^2 y = -t\cos t + \sin t + C.
Agora resolvemos para y:
y(t) = -\frac{\cos t}{t} + \frac{\sin t}{t^2} + \frac{C}{t^2}.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(\pi)=0 para determinar C. Substitui t=\pi:
0 = y(\pi) = -\frac{\cos\pi}{\pi} + \frac{\sin\pi}{\pi^2} + \frac{C}{\pi^2}.
Usando \cos\pi=-1 e \sin\pi=0:
0 = -\frac{-1}{\pi} + 0 + \frac{C}{\pi^2} = \frac{1}{\pi} + \frac{C}{\pi^2}.
Isolando C:
\frac{C}{\pi^2} = -\frac{1}{\pi}\quad\Rightarrow\quad C = -\pi.

Passo 9

Substituir C=-\pi na expressão geral de y(t):
y(t) = -\frac{\cos t}{t} + \frac{\sin t}{t^2} - \frac{\pi}{t^2}.
Podemos agrupar os dois últimos termos:
y(t) = -\frac{\cos t}{t} + \frac{\sin t - \pi}{t^2}.
Essa função é definida e contínua para t>0, que é o domínio pedido.

Passo 10

Resumo didático rápido do procedimento (para lembrar na prova):
  • Coloca-se a equação na forma y'+p(t)y=q(t) dividindo por t.
  • Calcula-se \mu(t)=\exp(\int p(t)\,dt).
  • Multiplica-se a equação por \mu para obter (\mu y)'=\mu q.
  • Integra-se, encontra-se y e aplica-se a condição inicial para achar a constante.

Resposta

y(t)=-\frac{\cos t}{t}+\frac{\sin t-\pi}{t^{2}},\qquad t>0

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