Questão 2 (2.5 pontos):
Determine a solução do PVI
Determine a solução do PVI
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI):
O que se pede: determinar a solução
definida para
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Dados relevantes que temos:
- A equação diferencial:
. - A condição inicial:
. - O domínio indicado:
(isso garante que podemos dividir por e usar quando necessário).]
Passo 2
Escolhendo o método: a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem em
. Uma forma padrão para esse tipo é
onde
e
são funções de
. A técnica mais direta aqui é o fator integrante (integrating factor). Vou explicar o método antes de aplicá‑lo:
A ideia do fator integrante: se a equação está em
, define-se o fator integrante
Multiplicando a equação por
obtemos
ou seja, a parte esquerda vira a derivada do produto
. Assim integramos ambos os lados e resolvemos para
. É um método direto e muito apropriado para equações lineares de primeira ordem.
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão dividindo por
(permitido porque
):
Aqui identificamos
Agora calculamos o fator integrante
onde usei que
para manipular
e escrever
.
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Fazendo isso obtemos:
A observação essencial (justificativa do fator integrante) é que a parte esquerda é exatamente a derivada do produto
, porque pela regra do produto:
Portanto podemos escrever a equação como
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração que aparecerá ao integrar.
Passo 6
Calcular a integral
usando integração por partes. Lembra da fórmula:
Escolho
(assim
) e
(assim
). Aplicando:
A integral de
é
. Logo
Passo 7
Substituindo a integral encontrada em
(absorbendo constantes numa única
) obtemos:
Agora resolvemos para
:
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substitui
:
Usando
e
:
Isolando
:
Passo 9
Substituir
na expressão geral de
:
Podemos agrupar os dois últimos termos:
Essa função é definida e contínua para
, que é o domínio pedido.
Passo 10
Resumo didático rápido do procedimento (para lembrar na prova):
- Coloca-se a equação na forma
dividindo por . - Calcula-se
. - Multiplica-se a equação por
para obter . - Integra-se, encontra-se
e aplica-se a condição inicial para achar a constante.