Calcaule:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas que vamos usar:
- O integrando é a função racional
. - Os limites de integração são
e .
A tarefa é encontrar o valor numérico exato (em forma fechada) dessa integral.
Passo 2
Observação e escolha de substituição (explicação didática): note que o numerador tem um fator
e o denominador envolve
. Uma substituição natural que simplifica
é definir uma nova variável que seja
, porque
. Quando fazemos uma substituição
, lembramos que
; isso permite trocar
por
. Portanto escolhemos
Calcule o diferencial:
Mudar os limites de integração também: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 3
Aplicando a substituição à integral passo a passo (mostrando a transformação das expressões):
Substitua por
e
por
. Assim
Substitua
Aqui foi usado explicitamente que peguei
e que, portanto, os novos limites são
e
.
Passo 4
Resolver a integral resultante: recordar a primitiva básica.
Conhecimento útil: a derivada de é
Conhecimento útil: a derivada de
Por consequência, para uma constante positiva
vale a fórmula
No nosso caso
, então
Essa igualdade vem da substituição
ou diretamente da regra da cadeia aplicada a
.
Passo 5
Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada:
Sabendo que
, isso fica
Passo 6
Interpretação final e valor aproximado (opcional, para intuição): a resposta exata é
. Em valor decimal aproximado,
Fica aí a resposta exata e uma aproximação para checar numericamente na prova.