Calcaule:
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+9 x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+9x^{4}}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • O integrando é a função racional x/(1+9x^{4}).
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
    A tarefa é encontrar o valor numérico exato (em forma fechada) dessa integral.

Passo 2

Observação e escolha de substituição (explicação didática): note que o numerador tem um fator x\,dx e o denominador envolve x^{4}. Uma substituição natural que simplifica x^{4} é definir uma nova variável que seja x^{2}, porque (x^{2})^{2}=x^{4}. Quando fazemos uma substituição u=g(x), lembramos que du=g'(x)\,dx; isso permite trocar dx por du. Portanto escolhemos
u = x^{2}.
Calcule o diferencial:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Mudar os limites de integração também: quando x=0 temos u=0^{2}=0; quando x=1 temos u=1^{2}=1.

Passo 3

Aplicando a substituição à integral passo a passo (mostrando a transformação das expressões):
Substitua x\,dx por \tfrac{1}{2}\,du e x^{4} por u^{2}. Assim
\int_{0}^{1} \frac{x}{1+9x^{4}}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} \frac{1}{1+9u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+9u^{2}}\,du.
Aqui foi usado explicitamente que peguei u=x^{2} e que, portanto, os novos limites são 0 e 1.

Passo 4

Resolver a integral resultante: recordar a primitiva básica.
Conhecimento útil: a derivada de \arctan v é
\frac{d}{dv}\arctan v=\frac{1}{1+v^{2}}.
Por consequência, para uma constante positiva a vale a fórmula
\int \frac{1}{1+a^{2}u^{2}}\,du=\frac{1}{a}\arctan(au)+C.
No nosso caso a=3, então
\int \frac{1}{1+9u^{2}}\,du=\frac{1}{3}\arctan(3u)+C.
Essa igualdade vem da substituição v=3u ou diretamente da regra da cadeia aplicada a \arctan(3u).

Passo 5

Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+9u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}\arctan(3u)\right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}\big(\arctan(3\cdot 1)-\arctan(3\cdot 0)\big).
Sabendo que \arctan 0=0, isso fica
\frac{1}{6}\arctan 3.

Passo 6

Interpretação final e valor aproximado (opcional, para intuição): a resposta exata é \tfrac{1}{6}\arctan 3. Em valor decimal aproximado,
\arctan 3 \approx 1,249045772\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{6}\arctan 3 \approx 0,208174295.
Fica aí a resposta exata e uma aproximação para checar numericamente na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\arctan 3

Exercícios relacionados