Calcolare la antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni.
F(s)=6 s-12s^2+4 s+13

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente calcular a antitransformada de Laplace (ou seja, a transformada inversa) da função
F(s)=6s-12s^2+4s+13
Isso faz parte do conteúdo de transformadas de Laplace e, em especial, da tabela padrão de pares e .
O que vamos usar:
  • Completar o quadrado no denominador.
  • Separar o numerador em termos que casem com as fórmulas de e .
  • Aplicar direto da tabela de transformadas (cos, sen e exponencial).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador completando o quadrado:
s^2+4s+13 = (s^2+4s+4) +9 = (s+2)^2 + 3^2
Então
F(s)=6s-12(s+2)^2+3^2

Passo 3

Queremos separar 6s-12 = 6(s+2) - 6cdot 2 -12 +12 = 6(s+2) -24 em algo do tipo F(s) = 6(s+2)(s+2)^2+3^2 ;-;24(s+2)^2+3^2 mais alguma constante, pra bater com as fórmulas da tabela.
Note que
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Passo 4

Agora usamos as antitransformadas conhecidas:
No nosso caso, e .
  • Para o primeiro termo:
    .
  • Para o segundo termo:
    .
    Então é .
    Como vinha com sinal menos, fica .

Passo 5

Juntando os dois resultados, a antitransformada é
f(t) = 6,e^-2tcos(3t) ;-;8,e^-2tsin(3t)

Resposta

boxedf(t)=e^-2tl(6cos(3t)-8sin(3t)r)

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