Calcolare la antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni.
F(s)=s+2s^3+7 s^2+15 s+9

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra descobrir a antitransformada de Laplace de
F(s)=s+2s^3+7s^2+15s+9
Isso é tema de Equações Diferenciais ou de Transformada de Laplace inversa.
O que a gente vai precisar:
  1. Fatorar o denominador pra facilitar,
  2. Fazer decomposição em frações parciais,
  3. Usar tabela básica de transformada inversa:
    • ,
    • .

Passo 2

Primeiro, fatorar o polinômio do denominador s^3+7s^2+15s+9 = (s+1),(s+3)^2 .
  1. Testamos raízes inteiras simples, tipo :
    . Então é fator.
  2. Agora dividimos por .
    Fazendo divisão sintética ou convencional, o quociente é .
  3. Observamos que .
    Logo

Passo 3

Vamos escrever
s+2(s+1)(s+3)^2 = As+1 + Bs+3 + C(s+3)^2
Multiplicando tudo por s+2 = A,(s+3)^2 + B,(s+1)(s+3) + C,(s+1) , dá
A(s^2+6s+9) + B(s^2+4s+3) + C s + C = (A+B)s^2 + (6A+4B+C)s + (9A+3B+C)
Expandindo:
A + B = 0, 6A + 4B + C = 1, 9A + 3B + C = 2
Comparando com F(s) = 1/4s+1 - 1/4s+3 + 1/2(s+3)^2 , temos o sistema
Resolvendo:
  • Da 1ª: .
  • Na 2ª: .
  • Na 3ª: .
    Subtraindo a 2ª da 3ª: .
    Então e .
Portanto

Passo 4

Agora aplicamos a tabela de transformada inversa:
  • f(t) = 14,e^-t ;-;14,e^-3t ;+;12,t,e^-3t ,
  • ,
  • .
Então

Resposta

boxedf(t)=14,e^-t-14,e^-3t+12,t,e^-3t

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