Calcolare la antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra descobrir a antitransformada de Laplace de
Isso é tema de Equações Diferenciais ou de Transformada de Laplace inversa.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Fatorar o denominador pra facilitar,
- Fazer decomposição em frações parciais,
- Usar tabela básica de transformada inversa:
-
, -
.
-
Passo 2
Primeiro, fatorar o polinômio do denominador
.
- Testamos raízes inteiras simples, tipo
:
. Então é fator. - Agora dividimos
por .
Fazendo divisão sintética ou convencional, o quociente é. - Observamos que
.
Logo
Passo 3
Vamos escrever
Multiplicando tudo por
, dá
Expandindo:
Comparando com
, temos o sistema
Resolvendo:
- Da 1ª:
. - Na 2ª:
. - Na 3ª:
.
Subtraindo a 2ª da 3ª: .
Então e .
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a tabela de transformada inversa:
-
,f(t) = 14,e^-t ;-;14,e^-3t ;+;12,t,e^-3t -
, -
.
Então