Calcul os limets.
\lim _{t \rightarrow 1} \frac{t^{3}-1}{t-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t\to1}\frac{t^3-1}{t-1}.
Esse é um caso clássico de limite que gera forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a fatoração da diferença de cubos.

Passo 2

Se tentássemos substituir t=1 diretamente, obteríamos
\frac{1^3-1}{1-1}=\frac{0}{0},
que é uma indeterminação. Isso nos indica que é preciso manipular a expressão algébrica antes de avaliar o limite.

Passo 3

Aplicamos a fatoração da diferença de cubos:
t^3 - 1 = (t-1)\bigl(t^2 + t + 1\bigr).
Substituindo no numerador, a expressão do limite fica
\frac{t^3-1}{t-1} =\frac{(t-1)(t^2+t+1)}{t-1}.

Passo 4

Como t\neq1 nos arredores de t=1, podemos cancelar o fator (t-1). Então a função passa a ser
t^2 + t + 1,
que já não apresenta indeterminação em t=1.

Passo 5

Agora basta substituir t=1 na função simplificada:
1^2 + 1 + 1 = 3.

Resposta

O valor do limite é 3.

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