Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{-1}^{\infty} e^{-s x} d x, s>0

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos analisar a integral imprópria \displaystyle \int_{-1}^{\infty} e^{-s x}\,dx para s>0.
Trata-se de um único ponto impróprio em +\infty, pois o integrando é contínuo em [-1,\infty).

Passo 2

Para resolver, primeiro encontramos a primitiva de e^{-s x}. Sabemos que
\int e^{-s x}\,dx = -\frac{1}{s}\,e^{-s x} + C.

Passo 3

Agora avaliamos a integral no intervalo [-1,b] e depois tomamos o limite b\to\infty:
\int_{-1}^{b} e^{-s x}\,dx = \left[-\frac{1}{s}e^{-s x}\right]_{x=-1}^{x=b} = -\frac{1}{s}e^{-s b} + \frac{1}{s}e^{s}.

Passo 4

Como s>0, temos \lim_{b\to\infty}e^{-s b}=0. Logo
\int_{-1}^{\infty} e^{-s x}\,dx = \frac{e^{s}}{s}.
Isso mostra que a integral converge.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é \displaystyle \frac{e^{s}}{s}.

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