Em cada um dos itens abaixo, encontrar a expressão da função f^{\prime}: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, onde f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, é dada por
f(x)=\int_{0}^{x}\left(t^{2}+1\right)^{10} d t

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\int_{0}^{x}\bigl(t^{2}+1\bigr)^{10}\,dt
e pede f'(x). Aqui usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona a derivada de uma integral com o próprio integrando, desde que este seja contínuo.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que, se
F(x)=\int_{a}^{x}g(t)\,dt
e g é contínua em um intervalo que contém a e x, então
F'(x)=g(x).
No nosso caso, g(t)=(t^{2}+1)^{10}, que é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

f'(x) = \bigl(x^{2}+1\bigr)^{10}.

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