Exercício 3: Calcule as integrais.
\int 1-e+\frac{\pi}{x}+x^{\sqrt{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) da função
f(x) = 1 \;-\; e \;+\;\frac{\pi}{x}\;+\;x^{\sqrt{2}}
ou seja, calcular
\int\Bigl(1 - e + \frac{\pi}{x} + x^{\sqrt{2}}\Bigr)\,dx.
Vamos usar a linearidade da integral e as fórmulas básicas:
  1. \displaystyle\int c\,dx = c\,x para constante c.
  2. \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|.
  3. \displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (quando n\neq -1).

Passo 2

Aplicamos a linearidade para separar em quatro integrais:
\int\Bigl(1 - e + \frac{\pi}{x} + x^{\sqrt{2}}\Bigr)\,dx = \int 1\,dx \;-\;\int e\,dx \;+\;\int \frac{\pi}{x}\,dx \;+\;\int x^{\sqrt{2}}\,dx.

Passo 3

Calcular \displaystyle\int 1\,dx e \displaystyle\int e\,dx.
Pela regra de constantes:
\int 1\,dx = x, \qquad \int e\,dx = e\,x.
Logo a parte correspondente fica x - e\,x =(1 - e)\,x.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int \frac{\pi}{x}\,dx.
Tirando \pi como constante:
\int \frac{\pi}{x}\,dx = \pi \int \frac{1}{x}\,dx = \pi\,\ln\lvert x\rvert.

Passo 5

Calcular \displaystyle\int x^{\sqrt{2}}\,dx.
Pelo power rule com n=\sqrt{2}:
\int x^{\sqrt{2}}\,dx = \frac{x^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1}.

Passo 6

Somando todas as partes e adicionando a constante de integração C, obtemos:
\int\Bigl(1 - e + \frac{\pi}{x} + x^{\sqrt{2}}\Bigr)\,dx = (1 - e)\,x + \pi\,\ln\lvert x\rvert + \frac{x^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1} + C.

Resposta

(1 - e)\,x + \pi\,\ln\lvert x\rvert + \frac{x^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1} + C.

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