Calcula as derivadas parciais de ordem 2:
z=x^{3} y-2 x^{2} y^{2}+5 x y-2 x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
z = x^{3}y \;-\; 2x^{2}y^{2} \;+\; 5xy \;-\; 2x.
Vamos primeiro encontrar as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente para obter as de segunda ordem.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}. Derivando termo a termo em relação a x:
\partial(x^{3}y)/\partial x = 3x^{2}y
\partial(-2x^{2}y^{2})/\partial x = -4xy^{2}
\partial(5xy)/\partial x = 5y
\partial(-2x)/\partial x = -2
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^{2}y \;-\; 4xy^{2} \;+\; 5y \;-\; 2.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}. Derivando termo a termo em relação a y:
\partial(x^{3}y)/\partial y = x^{3}
\partial(-2x^{2}y^{2})/\partial y = -4x^{2}y
\partial(5xy)/\partial y = 5x
\partial(-2x)/\partial y = 0
\frac{\partial z}{\partial y} = x^{3} \;-\; 4x^{2}y \;+\; 5x.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr). Derivando 3x^{2}y - 4xy^{2} + 5y - 2 em relação a x:
\partial(3x^{2}y)/\partial x = 6xy
\partial(-4xy^{2})/\partial x = -4y^{2}
\partial(5y)/\partial x = 0
\partial(-2)/\partial x = 0
\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} = 6xy \;-\; 4y^{2}.

Passo 5

Calcular a mista \displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial y\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr). Derivando 3x^{2}y - 4xy^{2} + 5y - 2 em relação a y:
\partial(3x^{2}y)/\partial y = 3x^{2}
\partial(-4xy^{2})/\partial y = -8xy
\partial(5y)/\partial y = 5
\partial(-2)/\partial y = 0
\frac{\partial^{2}z}{\partial y\partial x} = 3x^{2} \;-\; 8xy \;+\; 5.
Por Clairaut, \displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^{2}z}{\partial y\partial x}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial z}{\partial y}\biggr). Derivando x^{3} - 4x^{2}y + 5x em relação a y:
\partial(x^{3})/\partial y = 0
\partial(-4x^{2}y)/\partial y = -4x^{2}
\partial(5x)/\partial y = 0
\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = -4x^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} = 6xy - 4y^{2} \displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y} = 3x^{2} - 8xy + 5 \displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = -4x^{2}

Exercícios relacionados