Calcule a integral dupla sobre o retângulo R:
\iint_{R} x^{3} y^{3} d A e R=[0,1] x[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{3}y^{3}\,dA
sobre o retângulo R = [0,1]\times[0,1].
O conteúdo envolve integrais duplas e o Teorema de Fubini, que permite transformar essa integral em produto de integrais simples quando o integrando é separável e o domínio é um produto de intervalos.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini e separabilidade do integrando, temos
\iint_{R} x^{3}y^{3}\,dA = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1} x^{3}y^{3}\,dx\,dy = \Bigl(\int_{0}^{1} x^{3}\,dx\Bigr)\,\Bigl(\int_{0}^{1} y^{3}\,dy\Bigr).

Passo 3

Calculemos cada integral simples:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx =\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{1} y^{3}\,dy =\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4}.
Logo, o produto é
\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{16}

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