Calcula as derivadas parciais de ordem 2:
\omega=x^{3} y^{2} z+2(x+y+z)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
\omega(x,y,z)=x^{3}y^{2}z+2(x+y+z).
O conteúdo é diferenciação parcial; vamos usar as regras de derivação de potências, produto e constantes.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem:
\omega_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{2}z\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}2(x+y+z) =3x^{2}y^{2}z+2,
\omega_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{2}z\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}2(x+y+z) =2x^{3}y z+2,
\omega_{z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{3}y^{2}z\bigr)+\frac{\partial}{\partial z}2(x+y+z) =x^{3}y^{2}+2.

Passo 3

A partir de \omega_{x}, derivamos em x, y e z:
\omega_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{2}z+2)=6x y^{2}z,
\omega_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y^{2}z+2)=6x^{2}y z,
\omega_{xz}=\frac{\partial}{\partial z}(3x^{2}y^{2}z+2)=3x^{2}y^{2}.

Passo 4

A partir de \omega_{y} e \omega_{z}, derivamos em y e z:
\omega_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x^{3}y z+2)=2x^{3}z,
\omega_{yz}=\frac{\partial}{\partial z}(2x^{3}y z+2)=2x^{3}y,
\omega_{zz}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{3}y^{2}+2)=0.

Resposta

\omega_{xx}=6x y^{2}z \omega_{xy}=\omega_{yx}=6x^{2}y z \omega_{xz}=\omega_{zx}=3x^{2}y^{2} \omega_{yy}=2x^{3}z \omega_{yz}=\omega_{zy}=2x^{3}y \omega_{zz}=0

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