[2,0] Calcule a área limitada entre os gráficos das funções
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área limitada entre os gráficos das funções
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As duas funções explícitas são
e . - A “área limitada entre os gráficos” significa a região fechada onde os dois gráficos se encontram; para calcular essa área precisamos:
- encontrar os pontos de interseção (valores de
onde ); - determinar qual função está acima (maior) em cada intervalo entre interseções;
- integrar a diferença entre a função de cima e a de baixo em cada intervalo, somando as áreas (usando valor absoluto quando necessário).
- encontrar os pontos de interseção (valores de
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção resolvendo
. Escrevo a equação e simplifico:
Coloco tudo em um lado:
Simplificando os termos semelhantes:
Agora fatoro esse polinômio para achar as raízes.
Passo 3
Faço a fatoração por fator comum e depois quadrática:
Factorizando o termo quadrático
(procura-se dois números que somem
e multipliquem
; são
e
):
Portanto
As raízes são as soluções de
, ou seja:
Esses são os pontos de interseção entre os gráficos.
Passo 4
Para montar a integral da área, preciso saber em cada intervalo qual função é maior. Em vez de testar
e
separadamente, observo a função diferença
Se
então
(ou seja
está acima); se
então
está acima. Faço um quadro de sinais nos intervalos determinados pelas raízes
.
Escolho um ponto teste em cada intervalo:
- Para
, por exemplo : . - Para
, por exemplo : . - Para
, por exemplo : . - Para
, por exemplo : .
Portanto o sinal de
é:
- negativo em
, - positivo em
, - negativo em
, - positivo em
.
A região limitada entre os dois gráficos corresponde ao intervalo de
entre as interseções onde os gráficos se cruzam consecutivamente, isto é no intervalo
. Dentro de
há duas sub-regiões onde o sinal de
é diferente: em
tem
(logo
acima de
) e em
tem
(logo
acima de
). Assim a área total é a soma da área em
(integral de
) e em
(integral de
).
Passo 5
Escrevo a expressão da área
como soma de integrais (valor absoluto da diferença):
Como
, posso usar a função
e escrever
Recordando
, o problema reduz-se ao cálculo desses dois integrais.
Passo 6
Calculo uma primitiva
de
. Integro termo a termo:
Logo uma primitiva é
Vou usar
para avaliar os integrales por cálculo fundamental do cálculo.
Passo 7
Avalio os termos necessários.
Primeiro, para o intervalo
:
Calculo
. Agora
:
Coloco em denominador comum
:
Portanto
Em seguida, para o intervalo
:
Calculo
:
Simplifico
, e passo tudo para denominador
:
Logo
Lembre que na fórmula da área o segundo pedaço aparece com sinal negativo:
. Assim a contribuição positiva para a área vinda do segundo intervalo é
Passo 8
Somando as duas áreas parciais obtidas:
Coloco em denominador comum
:
. Então
Simplificando por
: