[2,0] Calcule a área limitada entre os gráficos das funções
f(x)=3 x^{3}-3 x \quad e \quad g(x)=2 x^{3}+2 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área limitada entre os gráficos das funções
f(x)=3x^{3}-3x\quad\text{e}\quad g(x)=2x^{3}+2x^{2}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As duas funções explícitas são f(x)=3x^{3}-3x e g(x)=2x^{3}+2x^{2}.
  • A “área limitada entre os gráficos” significa a região fechada onde os dois gráficos se encontram; para calcular essa área precisamos:
    • encontrar os pontos de interseção (valores de x onde f(x)=g(x));
    • determinar qual função está acima (maior) em cada intervalo entre interseções;
    • integrar a diferença entre a função de cima e a de baixo em cada intervalo, somando as áreas (usando valor absoluto quando necessário).

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção resolvendo f(x)=g(x). Escrevo a equação e simplifico:
3x^{3}-3x = 2x^{3}+2x^{2}.
Coloco tudo em um lado:
3x^{3}-3x - (2x^{3}+2x^{2}) = 0.
Simplificando os termos semelhantes:
x^{3}-2x^{2}-3x = 0.
Agora fatoro esse polinômio para achar as raízes.

Passo 3

Faço a fatoração por fator comum e depois quadrática:
x^{3}-2x^{2}-3x = x\bigl(x^{2}-2x-3\bigr).
Factorizando o termo quadrático x^{2}-2x-3 (procura-se dois números que somem -2 e multipliquem -3; são -3 e 1):
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto
x^{3}-2x^{2}-3x = x(x-3)(x+1).
As raízes são as soluções de x(x-3)(x+1)=0, ou seja:
x=-1,\quad x=0,\quad x=3.
Esses são os pontos de interseção entre os gráficos.

Passo 4

Para montar a integral da área, preciso saber em cada intervalo qual função é maior. Em vez de testar f e g separadamente, observo a função diferença
h(x)=f(x)-g(x)=x^{3}-2x^{2}-3x = x(x-3)(x+1).
Se h(x)>0 então f(x)>g(x) (ou seja f está acima); se h(x)<0 então g(x) está acima. Faço um quadro de sinais nos intervalos determinados pelas raízes -1,0,3.
Escolho um ponto teste em cada intervalo:
  • Para x<-1, por exemplo x=-2: h(-2)=(-2)(-5)(-1)=-10<0.
  • Para -1<x<0, por exemplo x=-\tfrac{1}{2}: h(-\tfrac{1}{2})>0.
  • Para 0<x<3, por exemplo x=1: h(1)=1\cdot(-2)\cdot2=-4<0.
  • Para x>3, por exemplo x=4: h(4)=4\cdot1\cdot5=20>0.
Portanto o sinal de h(x) é:
  • negativo em (-\infty,-1),
  • positivo em (-1,0),
  • negativo em (0,3),
  • positivo em (3,\infty).
A região limitada entre os dois gráficos corresponde ao intervalo de x entre as interseções onde os gráficos se cruzam consecutivamente, isto é no intervalo [-1,3]. Dentro de [-1,3] há duas sub-regiões onde o sinal de h é diferente: em [-1,0] tem h(x)\ge 0 (logo f acima de g) e em [0,3] tem h(x)\le 0 (logo g acima de f). Assim a área total é a soma da área em [-1,0] (integral de f-g) e em [0,3] (integral de g-f).

Passo 5

Escrevo a expressão da área A como soma de integrais (valor absoluto da diferença):
A=\int_{-1}^{0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx+\int_{0}^{3}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx.
Como g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x)), posso usar a função h(x)=f(x)-g(x) e escrever
A=\int_{-1}^{0} h(x)\,dx - \int_{0}^{3} h(x)\,dx.
Recordando h(x)=x^{3}-2x^{2}-3x, o problema reduz-se ao cálculo desses dois integrais.

Passo 6

Calculo uma primitiva H(x) de h(x)=x^{3}-2x^{2}-3x. Integro termo a termo:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},\qquad \int (-2x^{2})\,dx = -\frac{2x^{3}}{3},\qquad \int (-3x)\,dx = -\frac{3x^{2}}{2}.
Logo uma primitiva é
H(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}.
Vou usar H para avaliar os integrales por cálculo fundamental do cálculo.

Passo 7

Avalio os termos necessários.
Primeiro, para o intervalo [-1,0]:
\int_{-1}^{0} h(x)\,dx = H(0)-H(-1).
Calculo H(0)=0. Agora H(-1):
H(-1)=\frac{(-1)^{4}}{4}-\frac{2(-1)^{3}}{3}-\frac{3(-1)^{2}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2}.
Coloco em denominador comum 12:
H(-1)=\frac{3}{12}+\frac{8}{12}-\frac{18}{12}=\frac{-7}{12}.
Portanto
\int_{-1}^{0} h(x)\,dx = 0 - \left(-\frac{7}{12}\right)=\frac{7}{12}.
Em seguida, para o intervalo [0,3]:
\int_{0}^{3} h(x)\,dx = H(3)-H(0)=H(3)-0=H(3).
Calculo H(3):
H(3)=\frac{3^{4}}{4}-\frac{2\cdot 3^{3}}{3}-\frac{3\cdot 3^{2}}{2} = \frac{81}{4}-\frac{54}{3}-\frac{27}{2}.
Simplifico \frac{54}{3}=18, e passo tudo para denominador 4:
H(3)=\frac{81}{4}-\frac{72}{4}-\frac{54}{4}=\frac{81-72-54}{4}=\frac{-45}{4}.
Logo
\int_{0}^{3} h(x)\,dx = -\frac{45}{4}.
Lembre que na fórmula da área o segundo pedaço aparece com sinal negativo: -\int_{0}^{3} h(x)\,dx. Assim a contribuição positiva para a área vinda do segundo intervalo é
-\int_{0}^{3} h(x)\,dx = -\left(-\frac{45}{4}\right)=\frac{45}{4}.

Passo 8

Somando as duas áreas parciais obtidas:
A=\frac{7}{12} + \frac{45}{4}.
Coloco em denominador comum 12: \frac{45}{4}=\frac{135}{12}. Então
A=\frac{7}{12}+\frac{135}{12}=\frac{142}{12}.
Simplificando por 2:
A=\frac{71}{6}.

Resposta

\dfrac{71}{6}

Exercícios relacionados