Como é calculada a vazão volumétrica em um fluido viscoso com escoamento laminar, conhecendo o perfil de velocidade? E como é calculada a vazão volumétrica para um fluido perfeito?

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo é:
  1. Para um fluido viscoso em escoamento laminar, sabendo o perfil de velocidade Q = integralA v,dA, como achamos a vazão volumétrica ?
  2. Para um fluido perfeito (sem viscosidade, escoamento “plano” ou uniforme), como a gente calcula ?
O assunto é Mecânica dos Fluidos, mais especificamente cálculo de vazão por integração do perfil de velocidade.
Pra resolver, vamos precisar:
  • Saber que vazão volumétrica é a integral da velocidade sobre a área de escoamento:
  • Conhecer o perfil de velocidade de Poiseuille para escoamento laminar num tubo circular.
  • Entender que, num fluido perfeito com velocidade constante, basta multiplicar velocidade pela área.

Passo 2

Teoria básica: vazão volumétrica é o volume de fluido que passa por uma seção por unidade de tempo. Matemática disso é
Q = integralA v,dA,
onde pode variar dentro da seção. Se for tubular de raio e coordenadas polares, o elemento de área é .

Passo 3

Para escoamento laminar de Poiseuille (viscoso) num tubo de raio v(r) = De e comprimento Q = integralA v(r),dA = integral0^R De, sob diferença de pressão , o perfil radial é
onde é a viscosidade. Então a vazão é

Passo 4

Bora integrar passo a passo:
Q = 2pi,De
Agora a integral:
integral0^R R^2r,dr = R^2r^22|0^R = R^42, integral0^R r^3,dr = R^44
Substituindo:
Q = pi,De

Passo 5

Agora, pra um fluido perfeito com velocidade uniforme Q = v times A na seção de área Q = v,pi R^2 , não tem mistério:
Se for um tubo circular, , então

Resposta

Viscoso laminar (Poiseuille):
boxedQ = pi,De
Fluido perfeito (velocidade uniforme):
boxedQ = v,A (ou Q = v,pi R^2)

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