Calculando distâncias, mostre que o triângulo \triangle A B C,
é retângulo, se A=(3,-1,6), B=(-1,7,-2) e C=(1,-3,2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o triângulo \triangle ABC é retângulo, usando cálculos de distâncias no espaço. O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3: vamos calcular os comprimentos dos lados AB, BC e CA e verificar se algum par de comprimentos satisfaz o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Calcular o vetor \overrightarrow{AB} e seu quadrado da norma:
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1-3,\;7-(-1),\;-2-6) = (-4,\;8,\;-8),
\|\overrightarrow{AB}\|^2 = (-4)^2 + 8^2 + (-8)^2 = 16 + 64 + 64 = 144.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AC} e seu quadrado da norma:
\overrightarrow{AC} = C - A = (1-3,\;-3-(-1),\;2-6) = (-2,\;-2,\;-4),
\|\overrightarrow{AC}\|^2 = (-2)^2 + (-2)^2 + (-4)^2 = 4 + 4 + 16 = 24.

Passo 4

Calcular o vetor \overrightarrow{BC} e seu quadrado da norma:
\overrightarrow{BC} = C - B = (1-(-1),\;-3-7,\;2-(-2)) = (2,\;-10,\;4),
\|\overrightarrow{BC}\|^2 = 2^2 + (-10)^2 + 4^2 = 4 + 100 + 16 = 120.

Passo 5

Verificar o Teorema de Pitágoras:
\|\overrightarrow{AC}\|^2 + \|\overrightarrow{BC}\|^2 = 24 + 120 = 144 = \|\overrightarrow{AB}\|^2.
Isso mostra que o lado AB é hipotenusa e os lados AC e BC são catetos.

Passo 6

Como a soma dos quadrados dos comprimentos de AC e BC é igual ao quadrado do comprimento de AB, segue que o ângulo em C é reto.

Resposta

O triângulo \triangle ABC é retângulo em C.

Exercícios relacionados