Calcule cada uma das integrais definidas a seguir:
$\int_{1}^{2} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral definida
\displaystyle \int_{1}^{2} \ln x \,\mathrm{d}x.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois precisamos de uma primitiva de \ln x.

Passo 2

Em integração por partes, escolhemos
u = \ln x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x.
Então
\mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \quad\text{e}\quad v = x.
Pela fórmula
\displaystyle \int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u,
temos
\int \ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = x\ln x - \int 1\,\mathrm{d}x = x\ln x - x + C.

Passo 3

Definimos a primitiva
F(x) = x\ln x - x.
Calculamos em x=2:
F(2) = 2\ln 2 - 2.

Passo 4

Calculamos em x=1 e fazemos a diferença:
F(1) = 1\ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1,
\int_{1}^{2} \ln x\,\mathrm{d}x = F(2) - F(1) = \bigl(2\ln 2 - 2\bigr) - (-1) = 2\ln 2 - 1.

Resposta

\int_{1}^{2} \ln x\,\mathrm{d}x = 2\ln 2 - 1.

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