Mostre que a equação dada é a equação de uma esfera, determinando o seu centro e o seu raio.
x^{2}+y^{2}+z^{2}=6;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6
e pede para mostrar que ela representa uma esfera, identificando seu centro e raio. O conteúdo é geometria analítica no espaço, onde a forma padrão de uma esfera é
(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}.
Para resolver, vamos comparar a equação dada com essa forma canônica.

Passo 2

Na forma canônica, ao desenvolver
(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}
obtemos
x^{2} -2ax + a^{2} + y^{2} -2by + b^{2} + z^{2} -2cz + c^{2} = R^{2}.
Se não há termos lineares em x,y,z, então a=b=c=0.

Passo 3

A equação dada é
x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6.
Comparando com
(x-0)^{2} + (y-0)^{2} + (z-0)^{2} = R^{2},
vemos que R^{2}=6. Logo, o centro é (0,0,0) e o raio é R=\sqrt{6}.

Resposta

O conjunto de pontos definido por x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 é uma esfera de centro (0,0,0) e raio \sqrt{6}.

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