Q1: Medição do comprimento da tela do celular

Meça o maior comprimento L (diagonal) da tela do seu celular utilizando o seu dedo polegar. Chame essa unidade de “polegada” { }^{3} e denote-a pelo símbolo fictício ‘p’ (por exemplo, 8 polegadas =8 \mathrm{p} ). Preencha a tabela abaixo com as medições de L e incerteza \sigma_{L} (com unidades!).
Medições L \sigma_{L}
Valor
\mathrm{N}^{\mathrm{O}} de algarismos significativos
\mathrm{N}^{\mathrm{O}} de algarismos exatos \ldots \ldots \ldots
\mathrm{N}^{\mathrm{O}} de algarismos duvidosos \ldots \ldots \ldots
Como foi determinada a incerteza de medição? Descreva seu procedimento de forma sucinta.
\_\_\_\_
\_\_\_\_
\_\_\_\_
\_\_\_\_

  1. { }^{3} Historicamente, a polegada foi definida de forma antropométrica, sendo associada ao comprimento da falange distal do polegar humano, isto é, a distância entre a ponta do “dedão” e a sua primeira articulação. Embora essa definição variasse entre indivíduos, ela serviu como referência prática antes da padronização moderna, hoje definida por 2,54 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede que se meça o maior comprimento L (a diagonal) da tela do celular usando o polegar como unidade de medida chamada ‘p’ (polegada fictícia). Deve-se preencher a tabela com o valor medido L e a incerteza \sigma_{L} (com unidades). Além disso pede-se indicar:
  • o número de algarismos significativos;
  • o número de algarismos exatos;
  • o número de algarismos duvidosos;
    e descrever sucintamente como a incerteza foi determinada.
Informações que o enunciado dá (para usar na resolução):
  • Unidade de medida: 1\\ \mathrm{p} = comprimento do seu polegar (medida antropométrica, definida por você ao medir);
  • Medição deve ser feita com o polegar, portanto a “resolução do instrumento” é grosseira (passos de aproximadamente 0,5\\ \mathrm{p} ou 1\\ \mathrm{p}, dependendo de como você alinha o polegar);
  • Recomenda-se estimar a incerteza levando em conta repetibilidade (variação entre medidas) e a própria resolução da medida.
A resolução seguirá mostrando (1) como fazer as medições na prática, (2) como calcular média e incerteza estatística, (3) como estimar a incerteza ligada à resolução da “unidade polegar” e (4) como combinar as incertezas. Em seguida apresento um exemplo numérico completo (modelo) para que você saiba exatamente o que fazer na prova.

Passo 2

Como medir na prática (procedimento passo a passo — faça isso na prova/laboratório):
  1. Posicione o celular em superfície plana. Alinhe o polegar com a diagonal maior da tela, do canto inferior esquerdo ao canto superior direito (ou vice‑versa). Marque na pele do polegar onde termina a diagonal (visualmente).
  2. Conte quantos polegares inteiros cabem ao longo da diagonal. Se a diagonal terminar entre dois traços de polegar, estime a fração (por exemplo, metade do polegar = 0,5\\ \mathrm{p}). Registre essa leitura.
  3. Repita a medição pelo menos n=5 vezes (recolocando o polegar cada vez), para ter uma noção da variabilidade de repetição.
  4. Anote todas as leituras L_1,L_2,\dots,L_n em unidades de \mathrm{p}.
Dica prática: alinhe sempre do mesmo modo e tente não pressionar o polegar contra a tela (a distância é a superfície óssea, não a pele deformada). Faça as medidas em diferentes momentos rápidos para capturar variação humana.

Passo 3

Como calcular a média e a incerteza estatística (muito explicativo, passo a passo):
  • A média aritmética (valor melhor estimado) é
\bar{L}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} L_i,
onde n é o número de medições e L_i são as medições individuais.
  • A variância amostral (estimador da variabilidade entre medidas) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(L_i-\bar{L}\bigr)^2,
e o desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^2}.
  • O erro padrão da média (incerteza tipo A, ligada à repetibilidade) é
\sigma_{\bar{L}}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • s expressa quão espalhadas estão as medidas;
  • \sigma_{\bar{L}} diz o quão bem a média está determinada pelas n medidas.
Expliquei cada símbolo para ficar claro:
  • L_i: i‑ésima leitura (em \mathrm{p});
  • \bar{L}: média das leituras (estimativa de L);
  • s: desvio padrão amostral (variabilidade entre leituras);
  • \sigma_{\bar{L}}: incerteza estatística da média (incerteza tipo A).

Passo 4

Como avaliar a incerteza ligada à resolução do “instrumento polegar” (incerteza tipo B) e combinar com a estatística:
  • A menor “divisão” que você pode distinguir ao usar o polegar é aproximadamente a. Na prática, se você só consegue distinguir meios de polegar, use a=0,5\\ \mathrm{p}. Se você julgar que só conta polegares inteiros, a=1,0\\ \mathrm{p}. (Escolha realista quando for medir.)
  • Se a incerteza por resolução é que o valor verdadeiro está uniformemente distribuído dentro de \pm a/2, a contribuição padrão dessa incerteza é
\sigma_{\text{res}}=\frac{a}{\sqrt{12}}.
(Se preferir modelar como erro até \pm a com distribuição retangular, use a/\sqrt{3}; o uso de a/\sqrt{12} aparece quando a é o passo total entre marcas — escolha consistente. Aqui uso a convenção a = passo e \sigma_{\text{res}}=a/\sqrt{12}.)
  • A incerteza combinada é obtida por soma quadrática (independentes):
\sigma_{L}=\sqrt{\sigma_{\bar{L}}^{2}+\sigma_{\text{res}}^{2}}.
Essa \sigma_{L} é a incerteza final a reportar junto com \bar{L}.
Observação prática: muitas vezes a contribuição de resolução domina (é maior) quando se usa unidades grosseiras como o polegar.

Passo 5

Regra para arredondamento e algarismos significativos:
  • Ao apresentar o resultado final, a incerteza \sigma_{L} deve ser arredondada normalmente para 1 ou 2 algarismos significativos (uma prática comum é usar 1 algarismo significativo, mas 2 é aceitável se o primeiro dígito for 1 ou 2). Depois, arredonda‑se a média \bar{L} para a mesma casa decimal da incerteza.
  • Definições:
    • N° de algarismos significativos: todos os dígitos significativos no número reportado (sem zeros à esquerda inúteis).
    • N° de algarismos exatos: dígitos que sabemos com certeza (todos exceto o último dígito informado).
    • N° de algarismos duvidosos: normalmente 1 (o último dígito reportado, que é incerto).

Passo 6

Exemplo numérico completo (modelo) — faça o mesmo com suas medidas reais. Suponha que as cinco medidas que foram feitas (em \mathrm{p}) foram:
L_1=6,5,\quad L_2=6,5,\quad L_3=6,0,\quad L_4=6,5,\quad L_5=6,5.
Calcule a média:
\bar{L}=\frac{6,5+6,5+6,0+6,5+6,5}{5}=\frac{32,0}{5}=6,4\\ \mathrm{p}.
Calcule a variância amostral e o desvio padrão:
\sum (L_i-\bar{L})^2=(0,1)^2+(0,1)^2+(-0,4)^2+(0,1)^2+(0,1)^2=0,20,
s^2=\frac{0,20}{5-1}=0,05\quad\Rightarrow\quad s=\sqrt{0,05}\approx0,224\\ \mathrm{p}.
Erro padrão da média:
\sigma_{\bar{L}}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,224}{\sqrt{5}}\approx0,100\\ \mathrm{p}.
Estimativa da incerteza por resolução: assumindo passo a=0,5\\ \mathrm{p} (consistente com estimativa de meio polegar),
\sigma_{\text{res}}=\frac{a}{\sqrt{12}}=\frac{0,5}{\sqrt{12}}\approx0,144\\ \mathrm{p}.
(Inicialmente no exemplo analítico anterior foi usado a/\sqrt{3}; aqui escolhi a convenção a/\sqrt{12} — ambas são usadas; o importante é justificar a escolha. Se preferir usar a/\sqrt{3} o resultado fica maior.)
Incerteza combinada:
\sigma_{L}=\sqrt{(0,100)^2+(0,144)^2}\approx\sqrt{0,0100+0,0207}\approx\sqrt{0,0307}\approx0,175\\ \mathrm{p}.
Arredondando \sigma_{L} para dois algarismos significativos (opção razoável neste caso) obtemos \sigma_{L}=0,18\\ \mathrm{p}. Ajuste \bar{L} para a mesma casa decimal:
\bar{L}=6,40\\ \mathrm{p}\quad\text{(arredondado à centésima, compatível com }\sigma_{L}=0,18\text{)}.àéí
Observação: se, na sua prática, a resolução for pior (por exemplo a=0,5\\ \mathrm{p} interpretado como incerteza retangular a/\sqrt{3}), a \sigma_{L} pode crescer para algo como 0,29\\ \mathrm{p} e então se reporta 6,4\\ \mathrm{p}\pm0,29\\ \mathrm{p}. O importante é justificar a escolha de a.

Passo 7

Interpretação dos algarismos (com base no exemplo acima):
  • Valor final (exemplo): \bar{L}=(6,40\pm0,18)\\ \mathrm{p}.
  • N° de algarismos significativos em \bar{L}=6,40\\ \mathrm{p}: 3 (os dígitos 6, 4 e 0 são significativos — o zero final é significativo porque indica precisão até a centésima).
  • N° de algarismos exatos: 2 (os dígitos 6 e 4 são considerados exatos até a casa anterior; dependendo da convenção, pode-se dizer que há 2 algarismos exatos — todos exceto o último).
  • N° de algarismos duvidosos: 1 (o último dígito 0 na casa das centésimas é o dígito duvidoso).
Se você preferir reportar \bar{L}=6,4\\ \mathrm{p} com \sigma_{L}=0,18\\ \mathrm{p}, então:
  • N° algarismos significativos: 2 (6 e 4);
  • N° algarismos exatos: 1 (6);
  • N° algarismos duvidosos: 1 (4).
(Escolha a forma de arredondamento consistente com sua preferência e com o tamanho relativo da incerteza; ambas as apresentações são aceitáveis se consistentes.)

Passo 8

Resumo prático que você deve entregar na prova (faça com seus números reais):
  • Liste as leituras L_1,\dots,L_n.
  • Calcule \bar{L}, s, \sigma_{\bar{L}}=s/\sqrt{n}.
  • Escolha a (passo da medição com o polegar) e calcule \sigma_{\text{res}}=a/\sqrt{12} (ou a/\sqrt{3} se justificar retangular em \pm a).
  • Combine \sigma_{L}=\sqrt{\sigma_{\bar{L}}^{2}+\sigma_{\text{res}}^{2}}.
  • Arredonde \sigma_{L} (1 ou 2 alg. sig.) e ajuste \bar{L} na mesma casa decimal.
  • Informe número de algarismos significativos / exatos / duvidosos conforme a forma final reportada.
  • Descreva sucintamente o procedimento (linha curta).

Resposta

Medições (exemplo): L_1=6,5\\ \mathrm{p},\;L_2=6,5\\ \mathrm{p},\;L_3=6,0\\ \mathrm{p},\;L_4=6,5\\ \mathrm{p},\;L_5=6,5\\ \mathrm{p}.
Valor médio e incerteza combinada (exemplo): \bar{L}=(6,40\pm0,18)\\ \mathrm{p}.
N° de algarismos significativos: 3.
N° de algarismos exatos: 2.
N° de algarismos duvidosos: 1.
Como foi determinada a incerteza (sucinto): realizou‑se n=5 leituras; calculou‑se o desvio padrão amostral s e o erro padrão da média \sigma_{\bar{L}}=s/\sqrt{n} (incerteza tipo A); estimou‑se a incerteza por resolução do “instrumento polegar” com a=0,5\\ \mathrm{p} e \sigma_{\text{res}}=a/\sqrt{12} (incerteza tipo B); as duas contribuições foram combinadas por soma quadrática para obter \sigma_{L}.

Exercícios relacionados