Calculando integrais duplas
Nos exercicios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^2 raizln 3 integraly / 2^raizln 3 e^x^2 d x d y

Passo 1

Temos a integral dupla integral0^2raizln 3integraly/2^raizln 3e^x^2,dx,dy. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais duplas e uso de substituição para calcular a integral resultante.

Passo 2

A região de integração D é dada por
0<= y<= 2raizln3, y2<= x<= raizln3
No plano (x,y), isso corresponde a um triângulo com vértices em (0,0), (raizln3,0) e (raizln3,2raizln3), limitado pela reta y=2x e pela vertical x=raizln3.

Passo 3

Para inverter a ordem, observamos que na região D o valor de x varia de 0 até raizln3 e, para cada x, o y vai de 0 até 2x. Assim, a integral invertida fica:
integralx=0^raizln3integraly=0^2xe^x^2,dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=0^2xe^x^2,dy = e^x^2cdot y |0^2x = 2x,e^x^2
Então a integral torna-se:
integral0^raizln32x,e^x^2,dx

Passo 5

Para calcular integral0^raizln32x,e^x^2,dx, fazemos a substituição
u=x^2,
du=2x,dx. Os limites em u vão de 0 até ln3. Logo:
integral0^raizln32x,e^x^2,dx = integral0^ln3e^u,du = e^u|0^ln3 = e^ln3-e^0 = 3-1 = 2

Resposta

2

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