Uma partícula se move ao longo da involuta de equações paramétricas
x=cos t+t sen t, y=sen t-t cos t, (t>0)
(b) Determine os vetores T(pi2), N(pi2) e A(pi2).

Passo 1

O enunciado dá a curva involuta com coordenadas x=cos⁡t+t sen⁡t e y=sen⁡t−t cos⁡t para t>0 e pede os vetores tangente unitário T, normal principal N e aceleração A no instante t=π/2. Vamos usar derivadas paramétricas para obter r′(t), normalizar para T(t), depois derivar T para N e finalmente r′′(t) para A.

Passo 2

A primeira derivada r′(t) é dada por derivar cada componente de r(t):
r'(t)=l(ddt(cos t+tsin t),;ddt(sin t-tcos t)r)=l(-sin t+sin t+tcos t,;cos t-(cos t-tsin t)r)=l(tcos t,;tsin tr)

Passo 3

O vetor tangente unitário T(t) é r′(t) dividido pelo seu módulo. Como
|r'(t)|=raiz(tcos t)^2+(tsin t)^2=t(t>0), segue
T(t)=r'(t)|r'(t)|=(cos t,;sin t) Logo
Tl(tfracpi2r)=(costfracpi2,;sintfracpi2)=(0,1)

Passo 4

Para o vetor normal principal N(t) usamos N= T′(t)/|T′(t)|. Calculamos
T'(t)=l(-sin t,;cos tr), e como |T′(t)|=1, temos
N(t)=(-sin t,;cos t) Logo
Nl(tfracpi2r)=(-sintfracpi2,;costfracpi2)=(-1,0)

Passo 5

O vetor aceleração A(t) é a segunda derivada r′′(t). Derivando r′(t)=(t\cos t,;t\sin t) obtemos
r''(t)=(cos t -tsin t,;sin t +tcos t) Assim
Al(tfracpi2r)=l(costfracpi2-tfracpi2sintfracpi2,;sintfracpi2+tfracpi2costfracpi2r)=(-tfracpi2,1)

Resposta

T(π/2)=(0,1), N(π/2)=(-1,0), A(π/2)=(-π/2,1)

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