Uma partícula se move ao longo da involuta de equações paramétricas
(b) Determine os vetores
e
.
Passo 1
O enunciado dá a curva involuta com coordenadas x=cost+t sent e y=sent−t cost para t>0 e pede os vetores tangente unitário T, normal principal N e aceleração A no instante t=π/2. Vamos usar derivadas paramétricas para obter r′(t), normalizar para T(t), depois derivar T para N e finalmente r′′(t) para A.
Passo 2
A primeira derivada r′(t) é dada por derivar cada componente de r(t):
Passo 3
O vetor tangente unitário T(t) é r′(t) dividido pelo seu módulo. Como
Passo 4
Para o vetor normal principal N(t) usamos N= T′(t)/|T′(t)|. Calculamos
Passo 5
O vetor aceleração A(t) é a segunda derivada r′′(t). Derivando r′(t)=(t\cos t,;t\sin t) obtemos
Resposta
T(π/2)=(0,1), N(π/2)=(-1,0), A(π/2)=(-π/2,1)