Considere a função
. Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem a função $ f(x) = \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} $ e precisamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 da expressão $ f(x) + \frac{\ln(x)}{x - 1} $. Vamos usar conhecimentos de limites, funções exponenciais e logaritmos para chegar na resposta.
Passo 2
Vamos primeiro analisar $ f(x) = \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} $. Queremos ver o que acontece com essa função quando $ x $ se aproxima de 1. Substituindo $ x = 1 $:
Então, $ f(x) $ tende a 3 quando $ x $ se aproxima de 1.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda parte da expressão: $ \frac{\ln(x)}{x - 1} $. Se tentarmos substituir $ x = 1 \ diretamente, $ teremos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, pois $ \ln(1) = 0 $. Para resolver isso, vamos usar a regra de L’Hospital, que é útil para resolver limites indeterminados da forma $ \frac{0}{0} $.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador:
Então, $ \frac{\ln(x)}{x - 1} $ tende a 1 quando $ x $ se aproxima de 1.
Passo 5
Agora, juntando os dois resultados:
Resposta
O limite é igual a 4.