Considere a função f(x)=(1+2x)^x. Calcule:
lim x 1 f(x)+ln (x)x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem a função $ f(x) = \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} $ e precisamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 da expressão $ f(x) + \frac{\ln(x)}{x - 1} $. Vamos usar conhecimentos de limites, funções exponenciais e logaritmos para chegar na resposta.

Passo 2

Vamos primeiro analisar $ f(x) = \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} $. Queremos ver o que acontece com essa função quando $ x $ se aproxima de 1. Substituindo $ x = 1 $:
f(x) = (1 + 2x)^x
Então, $ f(x) $ tende a 3 quando $ x $ se aproxima de 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda parte da expressão: $ \frac{\ln(x)}{x - 1} $. Se tentarmos substituir $ x = 1 \ diretamente, $ teremos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, pois $ \ln(1) = 0 $. Para resolver isso, vamos usar a regra de L’Hospital, que é útil para resolver limites indeterminados da forma $ \frac{0}{0} $.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador:
limx to 1 ln(x)x - 1 = limx to 1 ddx ln(x)ddx (x - 1) = limx to 1 1x1 = 11 = 1
Então, $ \frac{\ln(x)}{x - 1} $ tende a 1 quando $ x $ se aproxima de 1.

Passo 5

Agora, juntando os dois resultados:
limx to 1 f(x) + ln(x)x - 1 = 3 + 1 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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