Calcule a integral indefinida.
\int x\left(x^{2}-1\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}\,dx.
O conteúdo relevante aqui é a técnica de substituição, pois o integrando é uma função composta (x^{2}-1)^{3} multiplicada pela derivada do seu interior (que é 2x até um fator). Vamos usar essa observação para simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} - 1.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}\,dx = \int u^{3}\,\frac{du}{2} = \frac12 \int u^{3}\,du.
Agora calculamos a antiderivada de u^{3}:
\frac12 \int u^{3}\,du = \frac12 \cdot \frac{u^{4}}{4} + C = \frac{u^{4}}{8} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, fazemos u = x^{2}-1. Logo a antiderivada fica
\frac{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{4}}{8} + C.

Resposta

\frac{(x^{2}-1)^{4}}{8} + C

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