Calculando integrais triplas iteradas
integral0^1 integral0^1 integral0^1(x^2+y^2+z^5) d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que está pedindo para calcular integral0^1 integral0^1 integral0^1(x^2+y^2+z^5) dz, dy, dx. O conteúdo aqui é de Cálculo Integral, especificamente integrais triplas iteradas. Vamos precisar entender como integrar função de três variáveis, uma de cada vez, usando os limites de 0 a 1 para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral tripla integrala^b integralc^d integrale^f f(x,y,z) dz, dy, dx significa que a gente vai integrar em relação a z, depois a y, e por último a x. Isso é conhecido como integração iterada.

Passo 3

Começamos integrando a função f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^5 em relação a z, mantendo x e y constantes. Então, vamos calcular:
integral0^1 (x^2 + y^2 + z^5) dz

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^1 x^2 dz = x^2 integral0^1 dz = x^2 cdot (1 - 0) = x^2
integral0^1 y^2 dz = y^2 integral0^1 dz = y^2 cdot (1 - 0) = y^2
integral0^1 z^5 dz = [z^66]0^1 = 1^66 - 0^66 = 16

Passo 5

Somando os resultados das integrais anteriores:
integral0^1 (x^2 + y^2 + z^5) dz = x^2 + y^2 + 16
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a y de 0 a 1:
integral0^1 (x^2 + y^2 + 16) dy

Passo 6

Integrando termo a termo:
integral0^1 x^2 dy = x^2 integral0^1 dy = x^2 cdot (1 - 0) = x^2
integral0^1 y^2 dy = [y^33]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13
integral0^1 16 dy = 16 cdot (1 - 0) = 16

Passo 7

Somando esses resultados:
integral0^1 (x^2 + y^2 + 16) dy = x^2 + 13 + 16 = x^2 + 12
Agora, vamos integrar isso em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 (x^2 + 12) dx

Passo 8

Mais uma vez, integramos cada termo separadamente:
integral0^1 x^2 dx = [x^33]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13
integral0^1 12 dx = 12 cdot (1 - 0) = 12

Resposta

Somando os resultados finais:
13 + 12 = 26 + 36 = 56
Então, o valor da integral tripla é 56.

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