Calcule detalhadamente os seguintes limites:
, onde
é um número real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite que precisa ser calculado quando $ x $ tende a mais ou menos infinito. O exercício é:
Esse problema está relacionado com os conceitos de limites no infinito e crescimento exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites quando $ x $ vai para infinito e como lidar com expressões do tipo $ (1 + \frac{a}{x})^{x} $, que costumam remeter à base do número $ e $.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Quando $ x $ tende a $ \infty $ ou $ -\infty $, os termos $ \frac{2}{x} $ e $ \frac{1}{x} $ se aproximam de zero. Então, a expressão simplifica para:
Mas temos que $ 1 $ elevado a infinito é uma forma indeterminada, então precisamos analisar mais a fundo.
Passo 3
Para resolver expressões da forma $ \left(1 + \frac{a}{x}\right)^{x} $, usamos o limite conhecido:
Vamos reescrever nossa expressão para se encaixar nessa forma. Observamos que:
Aqui, adicionamos e subtraímos 1 no numerador para facilitar a identificação do termo $ \frac{a}{x} $.
Passo 4
Agora, podemos separar a potência $ x + b $ em duas partes:
Vamos analisar cada parte separadamente.
Passo 5
Primeiro, focamos em $ \left(1 + \frac{3}{x-1}\right)^{x} $. Usando o limite que mencionamos:
Aqui, $ \frac{3}{x-1} $ se comporta como $ \frac{3}{x} $ quando $ x $ tende a $ \infty $.
Passo 6
Agora, analisamos a segunda parte: $ \left(1 + \frac{3}{x-1}\right)^{b} $. Como $ \frac{3}{x-1} $ tende a zero quando $ x $ vai para $ \infty $, temos:
Passo 7
Multiplicando as duas partes que calculamos:
Portanto, o limite quando $ x $ tende a $ \infty $ é $ e^{3} $.
Resposta
O limite é igual a $ e^{3} $.