Calcule detalhadamente os seguintes limites:
lim x pm infty(x+2x-1)^x+b, onde b é um número real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite que precisa ser calculado quando $ x $ tende a mais ou menos infinito. O exercício é:
x
Esse problema está relacionado com os conceitos de limites no infinito e crescimento exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites quando $ x $ vai para infinito e como lidar com expressões do tipo $ (1 + \frac{a}{x})^{x} $, que costumam remeter à base do número $ e $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
x+2x-1 = x(1 + 2x)x(1 - 1x) = 1 + 2x1 - 1x
Quando $ x $ tende a $ \infty $ ou $ -\infty $, os termos $ \frac{2}{x} $ e $ \frac{1}{x} $ se aproximam de zero. Então, a expressão simplifica para:
x
Mas temos que $ 1 $ elevado a infinito é uma forma indeterminada, então precisamos analisar mais a fundo.

Passo 3

Para resolver expressões da forma $ \left(1 + \frac{a}{x}\right)^{x} $, usamos o limite conhecido:
(1 + ax)^x
Vamos reescrever nossa expressão para se encaixar nessa forma. Observamos que:
limx infty (1 + ax)^x = e^a
Aqui, adicionamos e subtraímos 1 no numerador para facilitar a identificação do termo $ \frac{a}{x} $.

Passo 4

Agora, podemos separar a potência $ x + b $ em duas partes:
x + b
Vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, focamos em $ \left(1 + \frac{3}{x-1}\right)^{x} $. Usando o limite que mencionamos:
(1 + 3x-1)^x
Aqui, $ \frac{3}{x-1} $ se comporta como $ \frac{3}{x} $ quando $ x $ tende a $ \infty $.

Passo 6

Agora, analisamos a segunda parte: $ \left(1 + \frac{3}{x-1}\right)^{b} $. Como $ \frac{3}{x-1} $ tende a zero quando $ x $ vai para $ \infty $, temos:
(1 + 3x-1)^b

Passo 7

Multiplicando as duas partes que calculamos:
e^3 cdot 1 = e^3
Portanto, o limite quando $ x $ tende a $ \infty $ é $ e^{3} $.

Resposta

O limite é igual a $ e^{3} $.

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