Calcule as integrais a seguir.
integral 2 x^2-4 x^2-x-3x^2-2 x-3 d x

Passo 1

Enunciado e plano: calcular a integral integral 2x^2-4x^2-x-3x^2-2x-3,dx. O conteúdo é integração de funções racionais. Vamos usar divisão de polinômios e depois decomposição em frações parciais.

Passo 2

Simplificação do numerador: note que 2x^2-4x^2=-2x^2. Logo a integral vira
integral -2x^2 - x - 3x^2 - 2x - 3,dx

Passo 3

Divisão de polinômios: dividindo -2x^2 - x - 3 por x^2 - 2x - 3 obtemos quociente -2 e resto -5x - 9. Assim
-2x^2 - x - 3x^2 - 2x - 3 = -2 + -5x - 9x^2 - 2x - 3

Passo 4

Decomposição em frações parciais: fatoramos o denominador
x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)
E escrevemos
-5x - 9(x-3)(x+1) = Ax-3 + Bx+1
Igualando numeradores vem
A + B = -5, A - 3B = -9,
cuja solução é A=-6 e B=1.

Passo 5

Integração de cada termo: integramos separadamente
integral -2,dx = -2x,
integral -6x-3,dx = -6ln|x-3|,
integral 1x+1,dx = ln|x+1|

Passo 6

Somando tudo, a antiderivada geral é:
-2x -6ln|x-3| + ln|x+1| + C

Resposta

-2x -6ln|x-3| + ln|x+1| + C

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