Nas aplicações de (a) a (g) justifique que são transformações lineares. Encontre o núcleo e a imagem de todas as transformações dadas.
(a) T: R^3 R^3; tal que T([lx y z])=[lx+y+z x+y-z x-y-z]
Passo 1
O enunciado define a aplicação
pede para (i) justificar que é linear, (ii) encontrar e (iii) encontrar . Vamos usar definição de transformação linear, resolver o sistema homogêneo para o núcleo e usar o posto da matriz associada para a imagem.
Passo 2
Justificativa de linearidade. Seja e e . Tem-se
Por distribuição isso é
E
Logo, é linear.
Passo 3
Cálculo do núcleo. Queremos
T(x,y,z)=0 iff x+y+z=0, x+y-z=0, x-y-z=0
Da primeira e segunda equações segue 2z=0, logo z=0. Substituindo em x+y+z=0 dá x+y=0. Por fim, da terceira equação x-y-z=0 com z=0 dá 2x=0, logo x=0 e assim y=0. Portanto
ker(T)=(0,0,0)
Passo 4
Cálculo da imagem. A matriz de T em relação à base canônica é
A= 1&1&1 1&1&-1 1&-1&-1
Reduzindo A por linhas vemos que o posto é 3 (há pivôs em todas as colunas), então rank(A)=3. Como Im(T) é o espaço gerado pelas colunas de A e estamos em R^3, segue