Diferença de cubos e racionalização com raiz cúbica: Calcule os limites abaixo.
(a)
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}
(b)
\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}
(c)
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de três limites que, ao tentar substituir o ponto de interesse, dão forma indeterminada 0/0. Vou listar claramente cada limite e o que isso significa:
  • (a) \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{x-2}.
    Informação relevante: ao substituir x=2 no numerador obtemos 2^{3}-8=0 e no denominador 2-2=0. Então é uma indeterminação do tipo 0/0.
  • (b) \displaystyle \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}.
    Informação relevante: ao substituir x=8 no numerador \sqrt[3]{8}-2=2-2=0 e no denominador 8-8=0. Outra indeterminação 0/0.
  • (c) \displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{x^{3}+1}{x+1}.
    Informação relevante: ao substituir x=-1 no numerador (-1)^{3}+1=-1+1=0 e no denominador -1+1=0. Mais uma indeterminação 0/0.
Nos três casos a estratégia clássica é usar álgebra para eliminar o fator que gera a indeterminação (fatoração de diferença/soma de cubos ou mudança de variável/racionalização), simplificar e então avaliar o limite.

Passo 2

Toolbox (fórmulas que vamos usar) — explicação didática e prova rápida:
  • Identidade diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Prova rápida: multiplica-se (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}):
(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}.
Aqui a e b são quaisquer números; a identidade mostra que a-b é um fator de a^{3}-b^{3}.
  • Identidade soma de cubos:
a^{3}+b^{3}=(a+b)\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr).
Prova rápida: expandir (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) a^{3}+b^{3}.
  • Substituição para radicais cúbicos: se u=\sqrt[3]{x}, então x=u^{3}. Essa substituição é útil porque transforma diferenças que envolvem \sqrt[3]{x} em polinômios em u, aos quais as identidades acima se aplicam.

Passo 3

Resolver (a): \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{x-2}.
Aplicando identidade de diferença de cubos com a=x e b=2:
x^{3}-8 = x^{3}-2^{3}=(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr).
Substituindo no quociente:
\frac{x^{3}-8}{x-2}=\frac{(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)}{x-2}.
Desde que x\neq 2 podemos cancelar o fator x-2:
\frac{x^{3}-8}{x-2}=x^{2}+2x+4\quad\text{para }x\neq 2.
Agora o limite é contínuo na vizinhança de 2, então basta substituir x=2:
\lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-8}{x-2}=2^{2}+2\cdot 2+4=4+4+4=12.

Passo 4

Resolver (b): \displaystyle \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}.
Primeiro faço a substituição natural para lidar com raiz cúbica: defina
u=\sqrt[3]{x}.
Então x=u^{3}. Quando x\to 8, temos u\to \sqrt[3]{8}=2.
Reescrevendo todo em termos de u:
\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}=\frac{u-2}{u^{3}-8}.
Agora usamos a identidade de diferença de cubos em u^{3}-8=u^{3}-2^{3}:
u^{3}-8=(u-2)\bigl(u^{2}+2u+4\bigr).
Substitui no quociente:
\frac{u-2}{u^{3}-8}=\frac{u-2}{(u-2)\bigl(u^{2}+2u+4\bigr)}.
Para u\neq 2 podemos cancelar u-2:
\frac{u-2}{u^{3}-8}=\frac{1}{u^{2}+2u+4}.
Agora tomamos o limite quando u\to 2:
\lim_{u\to 2}\frac{1}{u^{2}+2u+4}=\frac{1}{2^{2}+2\cdot 2+4}=\frac{1}{4+4+4}=\frac{1}{12}.
Portanto o limite original vale \dfrac{1}{12}.
Observação pedagógica rápida: esse limite também é exatamente a derivada da função f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3} em x=8, pois
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}\quad\Rightarrow\quad f'(8)=\frac{1}{3}\cdot 8^{-2/3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12},
o que confirma o resultado obtido por álgebra. Mas para a prova a solução por substituição e fatoração é suficiente e mais elementar.

Passo 5

Resolver (c): \displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{x^{3}+1}{x+1}.
Usamos a identidade da soma de cubos com a=x e b=1:
x^{3}+1 = x^{3}+1^{3}=(x+1)\bigl(x^{2}-x+1\bigr).
Substituindo no quociente:
\frac{x^{3}+1}{x+1}=\frac{(x+1)\bigl(x^{2}-x+1\bigr)}{x+1}.
Para x\neq -1 podemos cancelar x+1:
\frac{x^{3}+1}{x+1}=x^{2}-x+1\quad\text{para }x\neq -1.
Agora avaliamos em x=-1:
\lim_{x\to -1}\frac{x^{3}+1}{x+1}=(-1)^{2}-(-1)+1=1+1+1=3.

Resposta

(a) 12
(b) \dfrac{1}{12}
(c) 3

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