Diferença de cubos e racionalização com raiz cúbica: Calcule os limites abaixo.
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de três limites que, ao tentar substituir o ponto de interesse, dão forma indeterminada
. Vou listar claramente cada limite e o que isso significa:
-
(a)
.
Informação relevante: ao substituirno numerador obtemos e no denominador . Então é uma indeterminação do tipo . -
(b)
.
Informação relevante: ao substituirno numerador e no denominador . Outra indeterminação . -
(c)
.
Informação relevante: ao substituirno numerador e no denominador . Mais uma indeterminação .
Nos três casos a estratégia clássica é usar álgebra para eliminar o fator que gera a indeterminação (fatoração de diferença/soma de cubos ou mudança de variável/racionalização), simplificar e então avaliar o limite.
Passo 2
Toolbox (fórmulas que vamos usar) — explicação didática e prova rápida:
- Identidade diferença de cubos:
Prova rápida: multiplica-se
:
Aqui
e
são quaisquer números; a identidade mostra que
é um fator de
.
- Identidade soma de cubos:
Prova rápida: expandir
dá
.
- Substituição para radicais cúbicos: se
, então . Essa substituição é útil porque transforma diferenças que envolvem em polinômios em , aos quais as identidades acima se aplicam.
Passo 3
Resolver (a):
.
Aplicando identidade de diferença de cubos com
e
:
Substituindo no quociente:
Desde que
podemos cancelar o fator
:
Agora o limite é contínuo na vizinhança de
, então basta substituir
:
Passo 4
Resolver (b):
.
Primeiro faço a substituição natural para lidar com raiz cúbica: defina
Então
. Quando
, temos
.
Reescrevendo todo em termos de
:
Agora usamos a identidade de diferença de cubos em
:
Substitui no quociente:
Para
podemos cancelar
:
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto o limite original vale
.
Observação pedagógica rápida: esse limite também é exatamente a derivada da função
em
, pois
o que confirma o resultado obtido por álgebra. Mas para a prova a solução por substituição e fatoração é suficiente e mais elementar.
Passo 5
Resolver (c):
.
Usamos a identidade da soma de cubos com
e
:
Substituindo no quociente:
Para
podemos cancelar
:
Agora avaliamos em
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)