Calculando as partes real e imaginária da expressão e utilizando as propriedades de limites reais, determine os limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente calcular o limite de uma expressão bem interessante envolvendo números complexos. A matéria aqui é sobre funções de variável complexa, especificamente lidando com partes real e imaginária de expressões. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com expoentes de números complexos e manipular suas partes real e imaginária.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo $ z $ de uma forma que a gente consiga trabalhar melhor. Um número complexo $ z $ pode ser escrito como:
onde $ x $ é a parte real e $ y $ é a parte imaginária de $ z $, e $ i $ é a unidade imaginária ($ i^2 = -1 $). A conjugada de $ z $, denotada por $ \bar{z} $, é:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ e^{z} $ e $ e^{\bar{z}} $. Usando a fórmula de Euler para exponenciais de números complexos:
Passo 4
Vamos subtrair $ e^{\bar{z}} $ de $ e^{z} $:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos substituir essa expressão na nossa função original e considerar a parte imaginária de $ z $, que é $ \operatorname{Im}(z) = y $:
Queremos encontrar o limite desta expressão quando $ z $ tende a 0, ou seja, quando $ x $ e $ y $ tendem a 0.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da expressão quando $ x $ e $ y $ tendem a 0:
- $ e^{x} $ tende para 1 quando $ x $ tende a 0.
- $ \frac{\sin y}{y} $ tende para 1 quando $ y $ tende a 0.
Então, substituindo esses limites na expressão:
Resposta
O limite é $ 2i $.