Considere a função:
Calcule o domínio da função
e as interseções do seu gráfico com os eixos coordenados caso existam.
Calcule o domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função $ f(x) = \frac{4x}{x^2 - 1} $. Nosso objetivo é descobrir o domínio dessa função e encontrar onde o gráfico dela cruza os eixos coordenados. Para isso, vamos usar conceitos de funções e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não existe.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Isso significa que quando $ x = 1 $ ou $ x = -1 $, o denominador é zero. Portanto, esses valores devem ser excluídos do domínio.
Passo 4
Então, o domínio da função $ f(x) $ é todos os números reais menos $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Em símbolos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos coordenados.
Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, fixamos $ x = 0 $ e calculamos $ f(0) $:
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, fixamos $ x = 0 $ e calculamos $ f(0) $:
Então, a função cruza o eixo y no ponto $ (0, 0) $.
Interseção com o eixo x:
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, fixamos $ y = 0 $ e resolvemos para $ x $:
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, fixamos $ y = 0 $ e resolvemos para $ x $:
A fração será zero quando o numerador for zero:
Então, a função também cruza o eixo x no ponto $ (0, 0) $.
Resposta
Domínio: $ \mathbb{R} \setminus {-1, 1} $
Interseção com os eixos coordenados: $ (0, 0) $