Determine as derivadas parciais das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ g(x, y) = \arctan(x^{2} + y) $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções compostas e usar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $. A função é $ \arctan(u) $ onde $ u = x^{2} + y $.
Passo 3
Lembra que a derivada de $ \arctan(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{1 + u^{2}} $. Mas como $ u $ depende de $ x $, precisamos usar a regra da cadeia. Então, a derivada fica:
Passo 4
Agora, derivamos $ u = x^{2} + y $ em relação a $ x $. Como $ y $ é tratado como uma constante em relação a $ x $:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $. Novamente, usamos a função $ \arctan(u) $ com $ u = x^{2} + y $.
Passo 7
Usando a regra da cadeia novamente:
Passo 8
Derivando $ u = x^{2} + y $ em relação a $ y $:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais da função $ g(x, y) = \arctan(x^{2} + y) $ são:
e