Determine as derivadas parciais das funções:
g(x, y)=arctan (x^2+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ g(x, y) = \arctan(x^{2} + y) $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções compostas e usar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $. A função é $ \arctan(u) $ onde $ u = x^{2} + y $.

Passo 3

Lembra que a derivada de $ \arctan(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{1 + u^{2}} $. Mas como $ u $ depende de $ x $, precisamos usar a regra da cadeia. Então, a derivada fica:
arctan(u)

Passo 4

Agora, derivamos $ u = x^{2} + y $ em relação a $ x $. Como $ y $ é tratado como uma constante em relação a $ x $:
u = x^2 + y

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial gpartial x = 11 + (x^2 + y)^2 cdot 2x = 2x1 + (x^2 + y)^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $. Novamente, usamos a função $ \arctan(u) $ com $ u = x^{2} + y $.

Passo 7

Usando a regra da cadeia novamente:
partial gpartial y = 11 + (x^2 + y)^2 cdot partialpartial y(x^2 + y)

Passo 8

Derivando $ u = x^{2} + y $ em relação a $ y $:
u = x^2 + y

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial gpartial y = 11 + (x^2 + y)^2 cdot 1 = 11 + (x^2 + y)^2

Resposta

As derivadas parciais da função $ g(x, y) = \arctan(x^{2} + y) $ são:
g(x, y) = arctan(x^2 + y)
e
partial gpartial x = 2x1 + (x^2 + y)^2

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