Calculando o rotacional, decida se os campos abaixo são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine
tal que
Passo 1
O enunciado pede para testar se o campo
é conservativo, isto é, se , e em caso afirmativo encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para o rotacional e depois integrar para achar
.
é conservativo, isto é, se
Passo 2
Calculamos o rotacional pela definição
Agora, cada derivada:
Cada componente do rotacional é a diferença acima, todas dando zero.
Passo 3
Como
em
(que é simplesmente conexo), concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Impondo
, temos
logo
e
.
Passo 6
Impondo
, obtemos
logo
e
é constante.