Calculando o rotacional, decida se os campos abaixo são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine f tal que F=nabla f
F(x, y, z)=(e^y z, x z e^y z, x y e^y z)

Passo 1

O enunciado pede para testar se o campo
F(x,y,z) = l(e^yz,,x z e^yz,,x y e^yzr)
é conservativo, isto é, se nablatimesF=0, e em caso afirmativo encontrar uma função potencial f tal que nabla f=F. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para o rotacional e depois integrar para achar f.

Passo 2

Calculamos o rotacional pela definição
nabla times F = l(partial F3partial y-partial F2partial z,; partial F1partial z-partial F3partial x,; partial F2partial x-partial F1partial yr)
Agora, cada derivada:
partial F3partial y =partialpartial y(x y e^yz) = x e^yz(1+yz), partial F2partial z =partialpartial z(x z e^yz) = x e^yz(1+yz),
partial F1partial z =partialpartial z(e^yz) = y e^yz, partial F3partial x =partialpartial x(x y e^yz) = y e^yz,
partial F2partial x =partialpartial x(x z e^yz) = z e^yz, partial F1partial y =partialpartial y(e^yz) = z e^yz
Cada componente do rotacional é a diferença acima, todas dando zero.

Passo 3

Como nablatimesF=(0,0,0) em R^3 (que é simplesmente conexo), concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para achar o potencial f, integramos
partial fpartial x=F1=e^yz em relação a x:
f(x,y,z)=integral e^yz,dx = x,e^yz + g(y,z),
onde g é uma função a determinar.

Passo 5

Impondo partial fpartial y=F2=xz e^yz, temos
partialpartial yl(xe^yz+g(y,z)r) = xz e^yz + partial gpartial y stackrel!= xz e^yz,
logo partial g/partial y=0 e g(y,z)=h(z).

Passo 6

Impondo partial fpartial z=F3=xy e^yz, obtemos
partialpartial zl(xe^yz+h(z)r) = xy e^yz + h'(z) stackrel!= xy e^yz,
logo h'(z)=0 e h é constante.

Resposta

f(x,y,z)=x,e^yz+C

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