Calculando o rotacional, decida se os campos abaixo são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine f tal que F=nabla f
F(x, y, z)=(y^2 z^3, 2 x y z^3, 3 x y^2 z^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do campo
F(x,y,z)=l(y^2z^3,,2xyz^3,,3xy^2z^2r)
e, se for conservativo, determinar uma função potencial f tal que F=nabla f.
Conteúdo: teste de conservatividade via nablatimesF e integração para achar f.

Passo 2

Vamos calcular as componentes do rotacional nablatimesF:
nablatimesF =l(partial F3partial y-partial F2partial z,; partial F1partial z-partial F3partial x,; partial F2partial x-partial F1partial yr)
  1. partial F3partial y =partialpartial y(3xy^2z^2)=6xyz^2,
    partial F2partial z =partialpartial z(2xyz^3)=6xyz^2
    Logo, primeira componente é 6xyz^2-6xyz^2=0.
  2. partial F1partial z =partialpartial z(y^2z^3)=3y^2z^2,
    partial F3partial x =partialpartial x(3xy^2z^2)=3y^2z^2
    Segunda componente é 3y^2z^2-3y^2z^2=0.
  3. partial F2partial x =partialpartial x(2xyz^3)=2yz^3,
    partial F1partial y =partialpartial y(y^2z^3)=2yz^3
    Terceira componente é 2yz^3-2yz^3=0.

Passo 3

Como nablatimesF=(0,0,0) e o domínio é todo R^3 (simplesmente conexo), concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para achar a função potencial f, integramos F1 em relação a x:
f(x,y,z)=integral y^2z^3,dx = x,y^2z^3 + g(y,z),
onde g é função a determinar.

Passo 5

Impondo partial f/partial y = F2:
partial fpartial y =2xyz^3 + partial gpartial y =2xyz^3 Longrightarrow partial gpartial y=0 ;Longrightarrow;g=g(z)
Impondo partial f/partial z = F3:
partial fpartial z =3xy^2z^2+g'(z) =3xy^2z^2 Longrightarrow g'(z)=0 ;Longrightarrow;g=const

Resposta

A função potencial (até constante) é
f(x,y,z)=x,y^2z^3+C,
logo F=nabla f.

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