Questão 7: (1,5 Pontos) Utilize o método de separação de variáveis para determinar a solução da equação diferencial
y^prime+x e^y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + x,e^y = 0
usando o método de separação de variáveis. Vamos identificar que é uma equação separável porque podemos escrever y' como dydx e agrupar termos que dependem de y de um lado e de x do outro.

Passo 2

Reescrevendo y' = dydx, temos
dydx = -,x,e^y
Agora separamos variáveis, colocando todas as coisas em y junto de dy e o que depende de x junto de dx:
dye^y = -,x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo:
integral dye^y = integral e^-y,dy = -,e^-y
Do lado direito:
integral -,x,dx = -,x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando as integrais:
-,e^-y = -,x^22 + C
Multiplicando por -1 e renomeando a constante ( C1 = -C), obtemos
e^-y = x^22 + C1
Para isolar y, aplicamos o logaritmo natural:
-,y = ln!l(x^22 + C1r) Longrightarrow y = -,ln!l(x^22 + C1r)

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = -ln!l(tfracx^22 + Cr),
onde C é uma constante arbitrária.

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