Calculando o rotacional, decida se os campos abaixo são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine f tal que F=nabla f
F(x, y, z)=(e^x sen(y z), z e^x cos (y z), y e^x cos (y z))

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional de
F(x,y,z)=l(e^xsin(yz),;z,e^xcos(yz),;y,e^xcos(yz)r)
e decidir se F é conservativo em R^3. Em caso afirmativo, devemos encontrar uma função potencial f tal que F=nabla f.

Passo 2

Vamos calcular
nablatimesF =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr),
onde P=e^xsin(yz), Q=z,e^xcos(yz), R=y,e^xcos(yz).
1. partial Rpartial y =e^xcos(yz)-yz,e^xsin(yz), partial Qpartial z =e^xcos(yz)-yz,e^xsin(yz) Rightarrow primeira componente =0.
2. partial Ppartial z =y,e^xcos(yz), partial Rpartial x =y,e^xcos(yz) Rightarrow segunda componente =0.
3. partial Qpartial x =z,e^xcos(yz), partial Ppartial y =z,e^xcos(yz) Rightarrow terceira componente =0.

Passo 3

Como nablatimesF=0 em todo R^3, e este domínio é simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para achar o potencial f, integramos
partial fpartial x = e^xsin(yz) Longrightarrow f(x,y,z)=integral e^xsin(yz),dx =e^xsin(yz)+h(y,z)

Passo 5

Impondo agora
partial fpartial y = z,e^xcos(yz)
temos
partialpartial yl(e^xsin(yz)+h(y,z)r) =z,e^xcos(yz)+partial hpartial y ;stackrel!=;z,e^xcos(yz)
logo partial h/partial y=0, isto é, h(y,z)=g(z).
Por fim,
partial fpartial z = y,e^xcos(yz)+g'(z) ;stackrel!=;y,e^xcos(yz)
implica g'(z)=0, ou seja, g é constante.

Resposta

F é conservativo e um potencial é
f(x,y,z)=e^xsin(yz)+C,
onde C é constante arbitrária.

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