Exercício 3.7. Encontre a solução de D’Alembert do problema de Neumann homogêneo para a equação da onda.

Passo 1

O problema é a equação da onda em (0,L) com condições de contorno de Neumann homogêneas e dados iniciais:
utt=c^2,uxx, 0<x<L,;t>0,
ux(0,t)=0, ux(L,t)=0,
u(x,0)=phi(x), ut(x,0)=psi(x)
Para aplicar a fórmula de D\’Alembert, que vale na reta inteira, vamos estender os dados iniciais para todo R usando reflexões pares periódicas de período 2L.

Passo 2

Definimos as extensões pares periódicas
e de modo idêntico para . Essas extensões garantem
e , e o mesmo para , assegurando as condições de Neumann em e .]

Passo 3

Na reta inteira a solução de D\’Alembert com dados Phi,Psi é
u(x,t) =12l[Phi(x+ct)+Phi(x-ct)r] +12cintegralx-ct^,x+ctPsi(s),ds
Por construção, para xin[0,L] essa fórmula satisfaz a PDE e as condições iniciais originais.

Passo 4

Verificamos que, por paridade de Phi e Psi,
ux(0,t) =12l[Phi'(ct)-Phi'(-ct)r]+12cl[Psi(ct)-Psi(-ct)r]=0,
e de modo análogo ux(L,t)=0. Portanto, as condições de contorno de Neumann homogêneas são respeitadas.

Resposta

u(x,t) =12l[Phi(x+ct)+Phi(x-ct)r] +12cintegralx-ct^x+ctPsi(s),ds,
onde Phi e Psi são as extensões pares periódicas de phi e psi com período 2L.

Exercícios relacionados