Exercício 3.7. Encontre a solução de D’Alembert do problema de Neumann homogêneo para a equação da onda.
Passo 1
O problema é a equação da onda em
com condições de contorno de Neumann homogêneas e dados iniciais:
Para aplicar a fórmula de D\’Alembert, que vale na reta inteira, vamos estender os dados iniciais para todo
usando reflexões pares periódicas de período
.
Passo 2
Definimos as extensões pares periódicas
e de modo idêntico para . Essas extensões garantem
Passo 3
Na reta inteira a solução de D\’Alembert com dados
é
Por construção, para
essa fórmula satisfaz a PDE e as condições iniciais originais.
Passo 4
Verificamos que, por paridade de
e
,
e de modo análogo
. Portanto, as condições de contorno de Neumann homogêneas são respeitadas.
Resposta
onde
e
são as extensões pares periódicas de
e
com período
.