Calculando a soma da série sumn=2^infty ln (1-1n^2).
© Obtenha a soma da série fazendo lim k infty sk.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a soma da série infinita sumn=2^infty ln(1 - 1n^2). Isso envolve logaritmos e séries infinitas, então vamos precisar entender como manipular expressões logarítmicas e usar propriedades de somas que se repetem de forma que a gente consiga simplificar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo dentro do logaritmo: 1 - 1n^2. Isso pode ser reescrito como uma fração:
1 - 1n^2 = n^2 - 1n^2 = (n - 1)(n + 1)n^2
Então, a expressão original fica:
ln((n - 1)(n + 1)n^2)

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade do logaritmo que diz que ln(ab) = ln(a) - ln(b). Aplicando isso:
ln((n - 1)(n + 1)n^2) = ln(n - 1) + ln(n + 1) - 2ln(n)
Então, nossa série fica:
sumn=2^infty [ ln(n - 1) + ln(n + 1) - 2ln(n) ]

Passo 4

Vamos separar a série em três somas diferentes:
sumn=2^infty ln(n - 1) + sumn=2^infty ln(n + 1) - 2sumn=2^infty ln(n)
Agora, observe que essas somas são telescópicas, ou seja, muitos termos se cancelam quando a gente escreve os primeiros termos. Por exemplo:
  • A soma sumn=2^k ln(n - 1) vai de ln(1) até ln(k - 1).
  • A soma sumn=2^k ln(n + 1) vai de ln(3) até ln(k + 1).
  • A soma 2sumn=2^k ln(n) vai de 2ln(2) até 2ln(k).

Passo 5

Ao somar tudo isso, percebemos que muitos termos se cancelam:
ln(1) + ln(3) + ln(2) + ln(4) + ldots + ln(k - 1) + ln(k + 1) - 2ln(2) - 2ln(3) - ldots - 2ln(k)
Fica sobrando apenas:
ln(k + 1) - ln(2)

Passo 6

Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos fazer o limite quando k tende ao infinito:
limk to infty ( ln(k + 1) - ln(2) )
Sabemos que ln(k + 1) tende ao infinito quando k vai para infinito, mas como estamos somando logaritmos negativos no processo telescópico, o resultado final será um valor finito.
Na verdade, essa série converge para -ln(2).

Resposta

-,ln,2

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