Calculando a soma da série
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© Obtenha a soma da série fazendo
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© Obtenha a soma da série fazendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a soma da série infinita
. Isso envolve logaritmos e séries infinitas, então vamos precisar entender como manipular expressões logarítmicas e usar propriedades de somas que se repetem de forma que a gente consiga simplificar tudo no final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo dentro do logaritmo:
. Isso pode ser reescrito como uma fração:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade do logaritmo que diz que
. Aplicando isso:
Então, nossa série fica:
Passo 4
Vamos separar a série em três somas diferentes:
Agora, observe que essas somas são telescópicas, ou seja, muitos termos se cancelam quando a gente escreve os primeiros termos. Por exemplo:
- A soma
vai de até . - A soma
vai de até . - A soma
vai de até .
Passo 5
Ao somar tudo isso, percebemos que muitos termos se cancelam:
Fica sobrando apenas:
Passo 6
Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos fazer o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende ao infinito quando
vai para infinito, mas como estamos somando logaritmos negativos no processo telescópico, o resultado final será um valor finito.
Na verdade, essa série converge para
.