Determine o diferencial da função a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo onde precisamos encontrar o diferencial da função $ y = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 9}\right) $. Para isso, vamos usar as regras de derivação, principalmente a derivada da função logarítmica e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{u} $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $. Isso é conhecido como regra da cadeia. No nosso caso, $ u = x + \sqrt{x^{2} + 9} $.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ u = x + \sqrt{x^{2} + 9} $. A derivada de $ x $ é 1. Para a parte da raiz, usamos a regra da derivada de $ \sqrt{v} $, que é $ \frac{1}{2\sqrt{v}} $ vezes a derivada de $ v $. Aqui, $ v = x^{2} + 9 $, então a derivada de $ v $ é $ 2x $.
Passo 4
Vamos juntar tudo:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia na derivada de $ y $:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observamos que:
Então, substituindo de volta:
Resposta
O diferencial da função é: