Determine o diferencial da função a seguir:
y=ln (x+raizx^2+9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo onde precisamos encontrar o diferencial da função $ y = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 9}\right) $. Para isso, vamos usar as regras de derivação, principalmente a derivada da função logarítmica e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{u} $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $. Isso é conhecido como regra da cadeia. No nosso caso, $ u = x + \sqrt{x^{2} + 9} $.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u = x + \sqrt{x^{2} + 9} $. A derivada de $ x $ é 1. Para a parte da raiz, usamos a regra da derivada de $ \sqrt{v} $, que é $ \frac{1}{2\sqrt{v}} $ vezes a derivada de $ v $. Aqui, $ v = x^{2} + 9 $, então a derivada de $ v $ é $ 2x $.

Passo 4

Vamos juntar tudo:
dudx = 1 + 12raizx^2 + 9 cdot 2x = 1 + xraizx^2 + 9

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia na derivada de $ y $:
y

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observamos que:
1 + xraizx^2 + 9 = raizx^2 + 9 + xraizx^2 + 9
Então, substituindo de volta:
dydx = raizx^2 + 9 + x(x + raizx^2 + 9) cdot raizx^2 + 9

Resposta

O diferencial da função é:
dy = raizx^2 + 9 + x(x + raizx^2 + 9) cdot raizx^2 + 9, dx

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