Usando os conceitos de diferencial de uma função, e sua relação com a primitiva, prove que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que provar que a integral de
em relação a
é igual a uma combinação de logaritmos e a função arco-tangente, como está no enunciado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a integração por frações parciais. Então, precisamos fatorar o denominador
e decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que:
Isso é uma fatoração padrão para a soma de cubos. Com isso, nossa fração fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para decompôr essa fração. Queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Passo 4
Para encontrar
,
e
, multiplique ambos os lados da equação por
:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Passo 6
Da primeira equação, temos
, ou seja,
.
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
na terceira equação:
Portanto:
Passo 7
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Podemos simplificar isso para:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada integral uma por uma.
Passo 9
Primeira integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Segunda integral:
Para resolver isso, vamos completar o quadrado no denominador:
Agora, vamos reescrever o numerador para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 11
Resolvendo a primeira parte:
E a segunda parte:
Simplificando:
Passo 12
Agora, juntando todas as partes e substituindo
por rearranjos, temos:
Resposta
A integral é igual a: