Usando os conceitos de diferencial de uma função, e sua relação com a primitiva, prove que:
integral d x1+x^3=ln (1+x)3-ln (x^2-x+1)6+raiz33 cdot arctg(raiz33 cdot(2 x+1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que provar que a integral de 11+x^3 em relação a x é igual a uma combinação de logaritmos e a função arco-tangente, como está no enunciado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a integração por frações parciais. Então, precisamos fatorar o denominador 1 + x^3 e decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 1 + x^3. Sabemos que:
1 + x^3 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
Isso é uma fatoração padrão para a soma de cubos. Com isso, nossa fração fica:
11 + x^3 = 1(x + 1)(x^2 - x + 1)

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para decompôr essa fração. Queremos encontrar constantes A, B e C tais que:
1(x + 1)(x^2 - x + 1) = Ax + 1 + Bx + Cx^2 - x + 1

Passo 4

Para encontrar A, B e C, multiplique ambos os lados da equação por (x + 1)(x^2 - x + 1):
1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1)
Expandindo o lado direito:
1 = A x^2 - A x + A + B x^2 + B x + C x + C
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + B)x^2 + (-A + B + C)x + (A + C)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de x^2: A + B = 0
  2. Coeficiente de x: -A + B + C = 0
  3. Termo constante: A + C = 1
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.

Passo 6

Da primeira equação, temos A + B = 0, ou seja, B = -A.
Substituindo B = -A na segunda equação:
-A + (-A) + C = 0 implies -2A + C = 0 implies C = 2A
Agora, substituindo C = 2A na terceira equação:
A + 2A = 1 implies 3A = 1 implies A = 13
Portanto:
A = 13, B = -13, C = 23

Passo 7

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos reescrever a fração original:
11 + x^3 = 1/3x + 1 + (-1/3)x + 2/3x^2 - x + 1
Podemos simplificar isso para:
11 + x^3 = 13 cdot 1x + 1 + -x + 23(x^2 - x + 1)

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 11 + x^3 dx = 13 integral 1x + 1 dx + 13 integral -x + 2x^2 - x + 1 dx
Vamos resolver cada integral uma por uma.

Passo 9

Primeira integral:
13 integral 1x + 1 dx = 13 ln|x + 1| + C1
Onde C1 é a constante de integração.

Passo 10

Segunda integral:
13 integral -x + 2x^2 - x + 1 dx
Para resolver isso, vamos completar o quadrado no denominador:
x^2 - x + 1 = (x - 12)^2 + 34
Agora, vamos reescrever o numerador para facilitar a integração:
-x + 2 = -(x - 12) + 52
Então, a integral fica:
13 [ integral -(x - 12) (x - 12)^2 + 34 dx + 52 integral 1 (x - 12)^2 + 34 dx ]

Passo 11

Resolvendo a primeira parte:
integral -(x - 12) (x - 12)^2 + 34 dx = -12 ln((x - 12)^2 + 34) + C2
E a segunda parte:
52 integral 1 (x - 12)^2 + (raiz32)^2 dx = 52 cdot 2raiz3 arctan( 2raiz3 (x - 12) ) + C3
Simplificando:
5raiz3 arctan( 2raiz3 (x - 12) ) + C3

Passo 12

Agora, juntando todas as partes e substituindo x - 12 por rearranjos, temos:
integral 11 + x^3 dx = 13 ln|x + 1| - 16 ln(x^2 - x + 1) + raiz33 arctan( raiz33 (2x + 1) ) + C

Resposta

A integral é igual a:
integral d x1+x^3=ln (1+x)3-ln (x^2-x+1)6+raiz33 cdot arctg(raiz33 cdot(2 x+1)) + C

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