Determine o diferencial da função a seguir:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o diferencial da função $ y = \arctan(x) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e diferenciais, que fazem parte do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o diferencial de uma função $ y = f(x) $ é dado por $ dy = f’(x)dx $, onde $ f’(x) $ é a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $. Então, precisamos encontrar a derivada de $ y = \arctan(x) $.
Passo 3
A derivada da função arco-tangente é uma fórmula conhecida no cálculo. Sabemos que:
Isso significa que a inclinação da reta tangente à curva $ \arctan(x) $ em qualquer ponto $ x $ é $ \frac{1}{1 + x^2} $.
Passo 4
Agora que temos a derivada, podemos escrever o diferencial da função. Usando a fórmula $ dy = f’(x)dx $, substituímos $ f’(x) $ pela derivada que encontramos:
Resposta
O diferencial da função $ y = \arctan(x) $ é: