Calcular Lt^2 e^-t mu(|t^2-6|-3)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
;f(t)=t^2e^-t,mul(lvert t^2-6rvert -3r),
onde mu(cdot) é a função degrau unitário. Para resolver, vamos usar a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t),e^-s t,dt
e determinar em que intervalos mu(lvert t^2-6rvert -3)=1.

Passo 2

Analisamos a condição lvert t^2-6rvert -3>=0, que equivale a
lvert t^2-6rvert >= 3 Long<=ftrightarrow t^2-6>=3ou t^2-6<= -3
Isto dá t^2>=9 (isto é, t>=3) ou t^2<=3 (isto é, 0<= t<=raiz3).
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mul(lvert t^2-6rvert -3r)= 1,&0<= t<= raiz3, 0,&raiz3< t<3, 1,&t>=3

Passo 3

Pela definição da transformada,
Lt^2e^-t,mul(lvert t^2-6rvert -3r)(s) =integral0^raiz3t^2e^-t,e^-s t,dt ;+;integral3^inftyt^2e^-t,e^-s t,dt
Colocando p=s+1, os integrais ficam
I1=integral0^raiz3t^2e^-p,t,dt, I2=integral3^inftyt^2e^-p,t,dt

Passo 4

Usamos a fórmula conhecida para polinômio vezes exponencial:
integral0^at^2e^-p,t,dt =2p^3l[1-e^-p,al(1+p,a+tfrac(p,a)^22r)r]
Assim, para a=raiz3 e p=s+1,
I1 =2(s+1)^3 l[1 -e^-(s+1)raiz3 l(1+(s+1)raiz3+tfrac(s+1)^232r)r]

Passo 5

Para o segundo integral usamos
integrala^inftyt^2e^-p,t,dt =e^-p,al(a^2p+2ap^2+2p^3r) =2p^3,e^-p,al(1+p,a+tfrac(p,a)^22r)
Com a=3 e p=s+1, obtém-se
I2 =2(s+1)^3 ,e^-3(s+1) l[1+3(s+1)+tfrac9(s+1)^22r]

Passo 6

Somando I1+I2 e lembrando p=s+1, concluímos
Lt^2e^-t,mu(lvert t^2-6rvert -3)(s) =2(s+1)^3 l[ 1 -e^-(s+1)raiz3l(1+(s+1)raiz3+tfrac3(s+1)^22r) +e^-3(s+1)l(1+3(s+1)+tfrac9(s+1)^22r) r]

Resposta

boxed Lt^2e^-t,mu(lvert t^2-6rvert -3)(s) =2(s+1)^3l[ 1-e^-(s+1)raiz3l(1+(s+1)raiz3+tfrac3(s+1)^22r) +e^-3(s+1)l(1+3(s+1)+tfrac9(s+1)^22r) r]

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