Problema:
Considere a matriz e a função f(x)=e^x^2
Calcule a derivada direcional da função g(x, y, z)=f(x^2+y^2+z^2) no ponto v=(1,1,1)
na direção do autovetor dominante da matriz A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma matriz A e uma função g(x, y, z) . A missão é calcular a derivada direcional de g no ponto v = (1,1,1) na direção do autovetor dominante da matriz A .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
Derivada Direcional: Mede a taxa de variação da função em uma direção específica.
Autovetor e Autovalor: Autovetor é um vetor que, quando multiplicado pela matriz A , resulta em um múltiplo escalar dele mesmo (o autovalor).
Gradiente: Vetor que aponta na direção de maior aumento da função.
Vamos dividir a resolução em passos para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o autovetor dominante da matriz A . O autovetor dominante é aquele associado ao maior autovalor da matriz. Para isso, precisamos encontrar os autovalores de A .
A matriz A é:
A = 2 & 1 & 0 1 & 3 & -1 0 & -1 & 4
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.