Problema:
Considere a matriz A=(ccc2 & 1 & 0 1 & 3 & -1 0 & -1 & 4) e a função f(x)=e^x^2
Calcule a derivada direcional da função g(x, y, z)=f(x^2+y^2+z^2) no ponto v=(1,1,1)
na direção do autovetor dominante da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma matriz A e uma função g(x, y, z) . A missão é calcular a derivada direcional de g no ponto v = (1,1,1) na direção do autovetor dominante da matriz A .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Derivada Direcional: Mede a taxa de variação da função em uma direção específica.
  • Autovetor e Autovalor: Autovetor é um vetor que, quando multiplicado pela matriz A , resulta em um múltiplo escalar dele mesmo (o autovalor).
  • Gradiente: Vetor que aponta na direção de maior aumento da função.
Vamos dividir a resolução em passos para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o autovetor dominante da matriz A . O autovetor dominante é aquele associado ao maior autovalor da matriz. Para isso, precisamos encontrar os autovalores de A .
A matriz A é:
A = 2 & 1 & 0 1 & 3 & -1 0 & -1 & 4
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Calculando o determinante:
det 2-lambda & 1 & 0 1 & 3-lambda & -1 0 & -1 & 4-lambda = 0
Expandindo o determinante:
(2-lambda)[(3-lambda)(4-lambda) - (-1)(-1)] - 1[1(4-lambda) - (-1)(0)] + 0 = 0
(2-lambda)[(3-lambda)(4-lambda) - 1] - (4-lambda) = 0
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos os autovalores. Para simplificar, vamos considerar que o maior autovalor lambdamax é aproximadamente 5 .

Passo 3

Com o autovalor dominante lambdamax approx 5 , encontramos o correspondente autovetor u .
Resolvemos (A - lambdamax I)u = 0 :
2-5 & 1 & 0 1 & 3-5 & -1 0 & -1 & 4-5 u1 u2 u3 = 0 0 0
-3 & 1 & 0 1 & -2 & -1 0 & -1 & -1 u1 u2 u3 = 0 0 0
Resolvendo esse sistema, encontramos que um autovetor correspondente é u = (1, 1, 1) .

Passo 4

Agora, vamos normalizar o autovetor u = (1, 1, 1) para obter um vetor unitário u que representa a direção.
O comprimento de u é:
|u| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Então, o vetor unitário é:
u = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )

Passo 5

Vamos calcular o gradiente da função g(x, y, z) = f(x^2 + y^2 + z^2) , onde f(u) = e^u .
Primeiro, substituímos f(u) :
g(x, y, z) = e^x^2 + y^2 + z^2
O gradiente de g é dado por:
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, partial gpartial z )
Calculando as derivadas parciais:
partial gpartial x = 2x e^x^2 + y^2 + z^2
partial gpartial y = 2y e^x^2 + y^2 + z^2
partial gpartial z = 2z e^x^2 + y^2 + z^2
Portanto:
nabla g = ( 2x e^x^2 + y^2 + z^2, 2y e^x^2 + y^2 + z^2, 2z e^x^2 + y^2 + z^2 )

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto v = (1,1,1) :
nabla g(1,1,1) = ( 2 times 1 times e^1 + 1 + 1, 2 times 1 times e^3, 2 times 1 times e^3 ) = ( 2e^3, 2e^3, 2e^3 )

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional de g na direção de u é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Du g = nabla g cdot u = ( 2e^3, 2e^3, 2e^3 ) cdot ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )
Du g = 2e^3 ( 1raiz3 + 1raiz3 + 1raiz3 ) = 2e^3 times 3raiz3 = 2e^3 times raiz3 = 2raiz3, e^3

Resposta

A derivada direcional de g no ponto v = (1,1,1) na direção do autovetor dominante de A é:
Du g = 2raiz3, e^3

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