Ache a representação em série de potência para a integral dada e determine o raio de convergência
integral0^x d t4-t

Passo 1

O enunciado pede a série de potência para
integral0^xdt4-t
e o raio de convergência. Vamos usar a expansão em série geométrica para o integrando e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Escrevemos
14-t=14,11-tfract4
e, para lvert trvert<4, a série geométrica dá
14-t =14sumn=0^inftyl(t4r)^n =sumn=0^inftyt^n4^,n+1

Passo 3

Integramos de 0 a x termo a termo (justificado por convergência uniforme em qualquer lvert xrvert<4):
integral0^xdt4-t =integral0^xsumn=0^inftyt^n4^,n+1,dt =sumn=0^infty14^,n+1integral0^xt^n,dt =sumn=0^inftyx^n+1(n+1),4^,n+1

Passo 4

Reindexando com k=n+1 obtemos
sumk=1^inftyx^kk,4^k
Para determinar o raio de convergência usamos o critério da razão:
L =limktoinfty |x^k+1/l((k+1)4^k+1r)x^k/(k4^k)| =|x4|limktoinftykk+1 =|x4|
Exigindo L<1 vem lvert xrvert<4, logo o raio de convergência é 4.

Resposta

A série de potência é
sumk=1^inftyx^kk,4^k
e o raio de convergência é 4.

Exercícios relacionados