Ache a representação em série de potência para a integral dada e determine o raio de convergência
Passo 1
O enunciado pede a série de potência para
e o raio de convergência. Vamos usar a expansão em série geométrica para o integrando e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Escrevemos
e, para
, a série geométrica dá
Passo 3
Integramos de
a
termo a termo (justificado por convergência uniforme em qualquer
):
Passo 4
Reindexando com
obtemos
Para determinar o raio de convergência usamos o critério da razão:
Exigindo
L<1 vem
lvert xrvert<4 , logo o raio de convergência é
4 .
Resposta
A série de potência é
e o raio de convergência é
4 .