Ache uma representação em série de potência para a função y=-3 x^2(1+x^3)^2.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências, em torno de x=0, da função
y = -3,x^2l(1 + x^3r)^2
O conteúdo utilizado será a série binomial generalizada para (1+u)^-2 e, em seguida, a substituição u = x^3 e a multiplicação por -3x^2.

Passo 2

Começamos pela conhecida série de potências para (1+u)^-2. Pelo binômio de Newton generalizado, temos
(1+u)^-2 = sumn=0^infty binom-2n,u^n = sumn=0^infty (-1)^n,(n+1),u^n,
válida para lvert urvert<1.

Passo 3

Agora fazemos a troca u = x^3. Assim
1l(1 + x^3r)^2 = sumn=0^infty (-1)^n,(n+1),x^3n,
válido para lvert x^3rvert<1, ou seja, lvert xrvert<1.

Passo 4

Por fim, multiplicamos essa série por -3x^2 para obter y:
y = -3,x^2 ;sumn=0^infty (-1)^n,(n+1),x^3n = sumn=0^infty -3,(n+1),(-1)^n,x^3n+2
Podemos reescrever o sinal como (-1)^n+1, ficando
y = sumn=0^infty 3,(n+1),(-1)^n+1,x^3n+2, |x|<1

Resposta

y = sumn=0^infty 3,(n+1),(-1)^n+1,x^3n+2, |x|<1

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