Calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = \ln\left(\frac{1 + y2}{x2 + x y}\right) $. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, onde a gente olha como a função muda em relação a uma variável mantendo a outra fixa. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que chamamos de $ f_x $. Lembre-se que a derivada da função logaritmo natural é $ \frac{1}{u} \cdot u’ $, onde $ u $ é a função dentro do logaritmo.
Então, temos:
Simplificando a fração:
Passo 3
Agora, vamos derivar $ \frac{1 + y2}{x2 + x y} $ em relação a $ x $. Para isso, usamos a regra do quociente: se temos $ \frac{u}{v} $, a derivada é $ \frac{u’v - u v’}{v^2} $.
Então, seja $ u = 1 + y^2 $ e $ v = x^2 + x y $. Derivando:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Substituindo de volta em $ f_x $:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é $ f_y $. Semelhante ao que fizemos para $ f_x $, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 6
Derivando $ \frac{1 + y2}{x2 + x y} $ em relação a $ y $, novamente usamos a regra do quociente:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 7
Simplificando a expressão acima:
Então, substituindo de volta em $ f_y $:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais são:
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