Calcular fx, fy, fx x, fx y, fx y, fy x
f(x, y)=ln (1+y^2x^2+x y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = \ln\left(\frac{1 + y2}{x2 + x y}\right) $. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, onde a gente olha como a função muda em relação a uma variável mantendo a outra fixa. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que chamamos de $ f_x $. Lembre-se que a derivada da função logaritmo natural é $ \frac{1}{u} \cdot u’ $, onde $ u $ é a função dentro do logaritmo.
Então, temos:
f
Simplificando a fração:
x

Passo 3

Agora, vamos derivar $ \frac{1 + y2}{x2 + x y} $ em relação a $ x $. Para isso, usamos a regra do quociente: se temos $ \frac{u}{v} $, a derivada é $ \frac{u’v - u v’}{v^2} $.
Então, seja $ u = 1 + y^2 $ e $ v = x^2 + x y $. Derivando:
1 + y^2x^2 + x y éçã
x
Aplicando a regra do quociente:
uv

Passo 4

Substituindo de volta em $ f_x $:
fx
Então:
fx = x^2 + x y1 + y^2 cdot -(1 + y^2)(2x + y)(x^2 + x y)^2 = -(2x + y)x^2 + x y

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é $ f_y $. Semelhante ao que fizemos para $ f_x $, aplicamos a regra da cadeia:
f

Passo 6

Derivando $ \frac{1 + y2}{x2 + x y} $ em relação a $ y $, novamente usamos a regra do quociente:
1 + y^2x^2 + x y
y
Aplicando a regra do quociente:
u = 1 + y^2 Rightarrow u' = 2y

Passo 7

Simplificando a expressão acima:
ddy(1 + y^2x^2 + x y) = x (2y x + 2y^2 - 1 - y^2)(x^2 + x y)^2 = x (2y x + y^2 - 1)(x^2 + x y)^2
Então, substituindo de volta em $ f_y $:
fy
Portanto:
fy = x^2 + x y1 + y^2 cdot x (2y x + y^2 - 1)(x^2 + x y)^2 = x (2y x + y^2 - 1)(1 + y^2)(x^2 + x y)

Resposta

As derivadas parciais são:
fx = -2x + yx^2 + x y
fy = x (2y x + y^2 - 1)(1 + y^2)(x^2 + x y)
]

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