Mostre que os seguintes limites não existem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o seguinte limite não existe:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar analisar o comportamento da função quando os pontos
se aproximam de
por diferentes caminhos. Se a gente encontrar valores diferentes para o limite ao seguir caminhos distintos, isso mostra que o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um caminho simples para abordar
. Vamos começar considerando o caminho onde
. Isso significa que estamos nos aproximando do ponto
ao longo do eixo
.
Passo 3
Substituindo
na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo caminho
, o limite da função é
.
Passo 4
Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente para se aproximar de
. Vamos considerar o caminho onde
, onde
é uma constante qualquer. Isso significa que estamos nos aproximando de
ao longo de uma reta com inclinação
.
Passo 5
Substituindo
na função, temos:
Agora, ao tomar o limite quando
, sabemos que
. Então:
Esse resultado depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Passo 6
Observamos que ao seguir caminhos diferentes (ou seja, valores diferentes de
), obtemos valores distintos para o limite. Já vimos que pelo caminho
, o limite é
, e pelo caminho
, o limite é
.
Como os limites não são iguais quando nos aproximamos de
por caminhos diferentes, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe.