Mostre que os seguintes limites não existem:
lim (x, y) (0,0) x y cos (x)3 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o seguinte limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x y cos (x)3 x^2+y^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar analisar o comportamento da função quando os pontos (x, y) se aproximam de (0,0) por diferentes caminhos. Se a gente encontrar valores diferentes para o limite ao seguir caminhos distintos, isso mostra que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para abordar (0,0). Vamos começar considerando o caminho onde y = 0. Isso significa que estamos nos aproximando do ponto (0,0) ao longo do eixo x.

Passo 3

Substituindo y = 0 na função, temos:
x cdot 0 cdot cos(x)3x^2 + 0^2 = 03x^2 = 0
Então, ao nos aproximarmos de (0,0) pelo caminho y = 0, o limite da função é 0.

Passo 4

Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente para se aproximar de (0,0). Vamos considerar o caminho onde y = kx, onde k é uma constante qualquer. Isso significa que estamos nos aproximando de (0,0) ao longo de uma reta com inclinação k.

Passo 5

Substituindo y = kx na função, temos:
x cdot (kx) cdot cos(x)3x^2 + (kx)^2 = kx^2 cos(x)3x^2 + k^2x^2 = k cos(x)3 + k^2
Agora, ao tomar o limite quando x 0, sabemos que cos(0) = 1. Então:
limx 0 k cos(x)3 + k^2 = k cdot 13 + k^2 = k3 + k^2
Esse resultado depende do valor de k. Por exemplo:
  • Se k = 0, o limite é 0.
  • Se k = 1, o limite é 14.
  • Se k = 2, o limite é 27.

Passo 6

Observamos que ao seguir caminhos diferentes (ou seja, valores diferentes de k), obtemos valores distintos para o limite. Já vimos que pelo caminho y = 0, o limite é 0, e pelo caminho y = x, o limite é 14.
Como os limites não são iguais quando nos aproximamos de (0,0) por caminhos diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x y cos (x)3 x^2+y^2 não existe.

Exercícios relacionados