Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo.
f(x)=lsin (x^2-4)+5, se x>2 x^2+x-6x-2, se x<2 5, x=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de continuidade das funções! A pergunta quer saber em quais pontos a função $ f(x) $ não tem “salto” ou “buraco”. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade. Vamos dividir a função em partes e analisar cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando $ x < 2 $:
x < 2
Para simplificar, podemos fatorar o numerador:
f(x) = x^2 + x - 6x - 2
Então, a expressão fica:
x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)
Aqui, conseguimos cancelar o $ x - 2 $ no numerador e denominador, desde que $ x \neq 2 $:
f(x) = (x - 2)(x + 3)x - 2
Essa é uma função linear, que é contínua para todo valor de $ x $, exceto possivelmente em $ x = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte quando $ x > 2 $:
x > 2
A função seno ($ \sin $) é contínua para todos os números reais, e ao adicionar 5, a continuidade não muda. Portanto, essa parte da função também é contínua para todo $ x > 2 $.

Passo 4

Por fim, precisamos verificar o ponto $ x = 2 $. Para isso, vamos verificar se os limites pela esquerda e pela direita são iguais ao valor da função nesse ponto.
Primeiro, o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda:
x = 2
Agora, o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita:
x
E o valor da função em $ x = 2 $ é:
limx to 2^- f(x) = limx to 2 (x + 3) = 5
Como os dois limites são iguais a 5 e $ f(2) = 5 $, a função é contínua em $ x = 2 $.

Resposta

A função $ f(x) $ é contínua para todos os números reais, ou seja, para todo $ x \in \mathbb{R} $.

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