Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de continuidade das funções! A pergunta quer saber em quais pontos a função $ f(x) $ não tem “salto” ou “buraco”. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade. Vamos dividir a função em partes e analisar cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando $ x < 2 $:
Para simplificar, podemos fatorar o numerador:
Então, a expressão fica:
Aqui, conseguimos cancelar o $ x - 2 $ no numerador e denominador, desde que $ x \neq 2 $:
Essa é uma função linear, que é contínua para todo valor de $ x $, exceto possivelmente em $ x = 2 $.
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte quando $ x > 2 $:
A função seno ($ \sin $) é contínua para todos os números reais, e ao adicionar 5, a continuidade não muda. Portanto, essa parte da função também é contínua para todo $ x > 2 $.
Passo 4
Por fim, precisamos verificar o ponto $ x = 2 $. Para isso, vamos verificar se os limites pela esquerda e pela direita são iguais ao valor da função nesse ponto.
Primeiro, o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda:
Agora, o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita:
E o valor da função em $ x = 2 $ é:
Como os dois limites são iguais a 5 e $ f(2) = 5 $, a função é contínua em $ x = 2 $.
Resposta
A função $ f(x) $ é contínua para todos os números reais, ou seja, para todo $ x \in \mathbb{R} $.