Determine as dimensões de uma caixa retangular de base quadrada, com tampa, de forma que sua área total seja 50 cm^2 e seu volume seja o maior possível.

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos encontrar as dimensões de uma caixa retangular com base quadrada e tampa, cuja área total é de 50 , cm^2, e cujo volume seja o maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização, que envolvem criar equações para a área e o volume da caixa e encontrar os valores que maximizam o volume dentro das condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Como a base da caixa é um quadrado, vamos chamar o lado da base de x cm. A altura da caixa será h cm.

Passo 3

Agora, vamos expressar a área total da caixa. A caixa tem duas bases (a de baixo e a tampa) e quatro laterais.
  • Área da base: x^2
  • Área da tampa: x^2
  • Área das quatro laterais: 4 times (x times h) = 4xh
Então, a área total A é:
A = x^2 + x^2 + 4xh = 2x^2 + 4xh

Passo 4

Sabemos que a área total A é igual a 50 , cm^2. Podemos escrever:
2x^2 + 4xh = 50
Vamos simplificar dividindo todos os termos por 2:
x^2 + 2xh = 25

Passo 5

Queremos maximizar o volume V da caixa. A fórmula do volume de uma caixa retangular é:
V = x^2 h
Para facilitar a otimização, precisamos expressar V em termos de uma única variável. Podemos isolar h na equação da área total:
x^2 + 2xh = 25 implies 2xh = 25 - x^2 implies h = 25 - x^22x

Passo 6

Substituindo o valor de h na fórmula do volume:
V = x^2 (25 - x^22x) = x(25 - x^2)2 = 25x - x^32

Passo 7

Temos agora o volume em função de x:
V(x) = 25x - x^32
Para encontrar o valor de x que maximiza V, vamos derivar V em relação a x e igualar a zero.

Passo 8

Calculando a derivada de V:
V'(x) = 25 - 3x^22
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
25 - 3x^22 = 0 implies 25 - 3x^2 = 0 implies 3x^2 = 25 implies x^2 = 253 implies x = 5raiz3 approx 2,89 , cm
Racionalizando o denominador:
x = 5raiz33 , cm

Passo 9

Agora, encontramos h usando a expressão que obtivemos:
h = 25 - x^22x
Substituindo x^2 = 253:
h = 25 - 2532 times 5raiz33 = 753 - 25310raiz33 = 50310raiz33 = 5010raiz3 = 5raiz3 approx 2,89 , cm
Racionalizando o denominador:
h = 5raiz33 , cm

Resposta

As dimensões que maximizam o volume da caixa são:
x = 5raiz33 , cm (lado da base)
h = 5raiz33 , cm (a

Exercícios relacionados