Determine as dimensões de uma caixa retangular de base quadrada, com tampa, de forma que sua área total seja
e seu volume seja o maior possível.
Passo 1
Vamos resumir o problema: queremos encontrar as dimensões de uma caixa retangular com base quadrada e tampa, cuja área total é de
, e cujo volume seja o maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização, que envolvem criar equações para a área e o volume da caixa e encontrar os valores que maximizam o volume dentro das condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Como a base da caixa é um quadrado, vamos chamar o lado da base de
cm. A altura da caixa será
cm.
Passo 3
Agora, vamos expressar a área total da caixa. A caixa tem duas bases (a de baixo e a tampa) e quatro laterais.
- Área da base:
- Área da tampa:
- Área das quatro laterais:
Então, a área total
é:
Passo 4
Sabemos que a área total
é igual a
. Podemos escrever:
Vamos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 5
Queremos maximizar o volume
da caixa. A fórmula do volume de uma caixa retangular é:
Para facilitar a otimização, precisamos expressar
em termos de uma única variável. Podemos isolar
na equação da área total:
Passo 6
Substituindo o valor de
na fórmula do volume:
Passo 7
Temos agora o volume em função de
:
Para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero.
Passo 8
Calculando a derivada de
:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Racionalizando o denominador:
Passo 9
Agora, encontramos
usando a expressão que obtivemos:
Substituindo
:
Racionalizando o denominador:
Resposta
As dimensões que maximizam o volume da caixa são: